Bonjour matheux14,

es-tu déjà d'accord sur le fait que, si (G,*) est un groupe et H un sous-groupe de G, alors (H,*|H) (la notation signifiant restriction de la loi interne * à H) est un groupe de même neutre que G ?

Bonjour

Cf. point 1.5 de ce document , puis le point 2.3.

Le document que ThierryPoma a donné est vraiment pas mal, tu devrais y jeter un coup d'œil.

Par définition de sous-groupe, tu as que le produit de deux éléments de H reste dans H, de ce fait la loi de composition interne :



définit, par restriction à la source et à l'arrivée, une application :



qui est alors une loi de composition interne sur H (bien sûr, on la note aussi * par abus d'écriture, mais on ne va pas s'embêter à trimballer la restriction partout, ce serait lourd dans les rédactions).

D'accord

Pour montrer que si E est un sous-anneau de (A, + , •) alors :

* ;

* ; •

*

Si E est un sous-anneau de (A ; + ; •) alors :

* (E ; +) est un sous groupe de (A ; +) (1)

* E est stable par • (2)



•

Oui, et c'est toujours la même chose, un sous-anneau est un anneau pour les lois induites, et c'est le cas pour tous les sous-trucs de quelque chose (groupes, anneaux, corps, modules, espace vectoriel, algèbres...).

Remarque que ta proposition est en réalité équivalente à ta définition de sous-anneau, modulo l'hypothèse que le neutre de la multiplication doit appartenir au sous-anneau (il faut la rajouter !).