Bonjour,
J'ai un exercice sur la loi normale à faire. J'ai résolu l'exercice et souhaite vérifier mes réponses, surtout pour la question 4 !

Un fabricant de batteries pour automobiles déclare que la durée de vie de ses batteries est en moyenne de 60 mois, avec un écart-type de 7 mois. On suppose qu'un groupe de consommateurs décide de vérifier cette déclaration. Ils achètent au hasard 50 batteries de ce fabricant et observent la durée de vie de chacune des batteries. On suppose en outre que la déclaration du fabricant est vraie et que n = 50 est une grande taille pour ce type de problème.

1. Décrivez la distribution de la moyenne empirique de l'échantillon.

Il s'agit d'une loi normale :
X_n ~ 𝒩(60, 0,99)    car X_n ~ 𝒩(, /n)

2. Quelle est la probabilité que la moyenne de l'échantillon détenu par ce groupe de
consommateurs soit de 58 mois ou moins ? Interprétez ce résultat.  

Cela revient à calculer P (X_n 58)
On centre et on réduit X_n :
P (X_n 58) = P((X_n - 60)/0,99 (58-60)/0,99)
= P (Z - 2,02) = X (-2,02) = 1 - X(2,02) = 1 - 0,9783 = 0,00217

On a environ 2% de chance de tomber sur une batterie ayant une durée de vie de 58 moins ou moins.

3. Si le groupe de consommateurs pouvaient se procurer 150 batteries de plus, quel serait la valeur de la probabilité calculée dans la question précédente ? Ce résultat était-il prévisible? Pourquoi ?  

J'ai fait comme la question 2, mais avec Y_n ~ 𝒩(60, 0,49).
J'ai donc trouvé :
P (Y_n 58) = P((Y_n - 60)/0,49 (58-60)/0,49)
= P (Z - 4,08) = Y (-4,08) = 1 - Y(4,08) = 1 - 0,99998 = 0,00002

On a environ 0% de chance de tomber sur une batterie ayant une durée de vie de 58 moins ou moins. Oui ce résultat était prévisible avec la taille de l'échantillon est largement suppérier à l'écart-type.

4. Supposez que la durée de vie des batteries suit une loi normale N(60,7²) , trouvez la taille m d'un échantillon telle que la probabilité, que la moyenne empirique soit éloignée de la moyenne de la population de moins de 2 mois, soit égale à 0.90.

On a : ² = 7
= 2
= 1 - 0,90 = 0,10

D'aprés la loi des grands nombres on obtient :

m = ²/²
m= 7/(0,10(2)²) = 17,5

La taille de l'échantillon est de 17,5.

Merci d'avance !