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Loi normale

Posté par
101997
08-04-21 à 16:46

Bonjour, je suis en train de refaire un exercice corrigé et il y a quelques points que je ne comprends pas.

J'ai les paramètres de la loi R d'un résultat global : 500 d'espérance et 2000 d'écart type.

Il faut trouver un encadrement du résultat centré autour de la moyenne à 95%.

Le corrigé pose [500-a ; 500+a]

P(500-a<R<500+a)= 0,95
P(500-a-500/2000<T<500+a-500/2000)=0,95
....
On arrive à P(T<a/2000)=0,975
En cherchant dans la table on trouve 1,96
...
Puis on trouve pour intervalle [3420;4420]

Je n'arrive pas à comprendre la signification du 1,96 et le a

Le T ici c'est R-500/2000 ?

Et en cours, mon professeur nous disait de toujours justifier n>=30 ou X suit une loi normale
À quoi correspond le n ici? Ou comment savoir si c'est une loi normale?


Merci d'avance
(J'ai sauté quelques étapes du développement parce que je les ai comprises, mais je peux les mettre si vous en avez besoin)

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 16:54

bonjour

on se ramène donc à une loi normale centrée réduite : T

et on cherche t tels que P(T < t) = 0,975

l'aire sous la courbe en cloche représentant la densité de loi N(0;1) vaut 1 (comme pour toute densité de loi continue)

t représente le réel tel que la partie située sous la courbe, à gauche de la droite x=t, ait une aire de 0,975

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 16:55

le "a" est l'inconnue du problème.

puisqu'on cherche un intervalle centré sur la moyenne 500, on cherche un intervalle du type [500-a ; 500 + a]

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 16:58

cela dit, j'ai un doute sur ton intervalle final qui n'est pas centré sur 500

Posté par
101997
re : Loi normale 08-04-21 à 17:04

Donc le 1,96 correspond au « a »?

Oui pour l'intervalle c'est [-3420 ; 4420]

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 17:05

ça c'est la densité de la loi N(500 ; 2000)

on cherche un intervalle centré sur 500 tel que la partie en bleu ait une aire de 0,95

(les bornes en abscisses sont 500-a et 500+a)

Loi normale

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 17:07

et on se ramène par le calcul à un problème équivalent :

ça c'est la densité de la loi normale N(0 ; 1)

et on cherche t = a/2000 tel que la partie en bleu à gauche de la valeur t ait une aire de 0,975

Loi normale

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 17:08

101997 @ 08-04-2021 à 17:04

Donc le 1,96 correspond au « a »? Non !

Oui pour l'intervalle c'est [-3420 ; 4420] oui

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 17:09

pour la loi N(0;1)

P(T < 1,96) 0,975

donc a/2000 = 1,96

Posté par
101997
re : Loi normale 08-04-21 à 17:40

Donc si j'ai bien compris a=3920 ?

Merci beaucoup pour les graphiques, ça m'a aidé à comprendre un peu plus la logique

Et juste la forme du T pour trouver l'intervalle c'est bien (x-E)/) ?

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 17:45

la variable X suit la loi normale N(m ; )

signifie

la variable (X-m)/ suit la loi normale N(0 ; 1)

on s'y ramène car les tables donne des valeurs pour cette loi.

mais bon, sur les calculettes maintenant on peut souvent travailler avec une loi normale quelconque.

Posté par
101997
re : Loi normale 08-04-21 à 17:53

D'accord

Merci beaucoup!

Posté par
flight
re : Loi normale 08-04-21 à 17:59

salut

pour le 1,96  on peut prendre un autre exemple  , si on prend une vaariable aleatoire X suivant  la loi normale N(0;1) et que l'on cherche  la proba que  -aXa  soit = 0,95  c'est à dire que  X soit compris entre -a et a avec 95% de chance alors on calculera    P(-aXa ) = 0,95   soit  
P(Xa)-P(X-a)= 0,95.
(a) - (-a)=0,95
(a) -1 +  (a)=0,95
2(a)- 1 = 0,95
et (a)= 1,95/2 = 0,975
et une lecture inverse de la table de la loi normale donne a = 1,96
(il ne s'agit pas du meme "a" que celui de l'enoncé )

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 18:02

101997 @ 08-04-2021 à 17:53

D'accord

Merci beaucoup!


avec plaisir

Posté par
101997
re : Loi normale 08-04-21 à 19:08

flight @ 08-04-2021 à 17:59

salut

pour le 1,96  on peut prendre un autre exemple  , si on prend une vaariable aleatoire X suivant  la loi normale N(0;1) et que l'on cherche  la proba que  -aXa  soit = 0,95  c'est à dire que  X soit compris entre -a et a avec 95% de chance alors on calculera    P(-aXa ) = 0,95   soit  
P(Xa)-P(X-a)= 0,95.
(a) - (-a)=0,95
(a) -1 +  (a)=0,95
2(a)- 1 = 0,95
et (a)= 1,95/2 = 0,975
et une lecture inverse de la table de la loi normale donne a = 1,96
(il ne s'agit pas du meme "a" que celui de l'enoncé )


Que signifie ?

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 19:18

(t)  = P(T < t)

où T suit la loi normale centrée réduite.

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 08-04-21 à 19:18

en fait c'est la fonction de répartition de la loi normale N(0 ; 1)

Posté par
101997
re : Loi normale 08-04-21 à 22:32

Oui ça correspond à peu près au développement que j'ai dans le corrigé

Posté par
matheuxmatou
re : Loi normale 09-04-21 à 10:15

oui, c'est un calcul classique



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