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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
loi normale de moyenne aléatoire
Posté par Couzcouz
Bonjour,
Soit Y une variable aléatoire à valeur dans R. Cela a-t-il du sens de définir la variable aléatoire X suivant une loi gaussienne de moyenne Y et de variance 1 (i.e. X ~ N(Y,1) mais je peux aussi écrire X= U+Y avec U~N(0,1)) ? J'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui cloche avec cette définition car si je note E(X) l'espérance de X, j'ai E(X) = Y mais aussi E(X)=E(U+Y) = E(Y).
Pouvez vous me dire ce qui cloche dans mon raisonnement svp ?
Merci d'avance
Bonsoir,
L'espérance d'une variable aléatoire réelle, c'est un nombre réel. Si tu veux obtenir une variable aléatoire comme espérance, alors considère une espérance conditionnelle, conditionnée par une variable aléatoire : 
Dans ce cas tu auras et
.
Ha oui, voilà je comprends mieux maintenant. En fait je ne peux pas dire que X suit une loi gaussienne de moyenne Y mais c'est X sachant Y qui suit une loi gaussienne de moyenne Y. De cette information, je ne peux pas déduire que la loi de X est également normale, ça va dépendre de la loi de Y. C'est bien ça ?
Pour reprendre ce que tu écrivais, tu as , avec
et
indépendantes.
n'est certainement pas gaussienne : regarde par exemple ce que ça donne quand
vaut 1 avec proba 1/2 et -1 avec proba 1/2.
Mais si est un réel tel que
, la restriction de
au sous-univers
est bien gaussienne d'espérance
.