Bonjour.

1°) La loi de X est donc définie par la fonction densité f(x) = 1 sur ]0,1[, 0 ailleurs
et par sa répartition F(x) = x sur ]0,1[, F(x) = 0 si x < 0 et F(x) = 1 si x > 1.

Cherchons la fonction de répartition G de Y.

¤ X € I = ]0,1[ => Y € J = ]0,+[.
Soit x dans J, G(x) = prob(Y < x) = prob(X > e^-x) = 1 - prob(X < e^-x) = 1 - e^-x
La fonction de répartition de Y est donc :
G(x) = 1 - e^-x, x € J = ]0,+[, G(x) = 0 sinon.

¤ On en déduit sa fonction densité : g(x) = e^-x sur J et 0 ailleurs.

A plus RR.

1 - prob(X < e^-x) = 1 - e^-x provient il du fait que x suit une loi uniforme?

En effet, la loi uniforme sur ]0,1[ possède la fonction de répartition suivante :

Pour 0 < t < 1, F(t) = prob(X < t) = t.

A plus RR.

>Merci RR

De ca fait, j'ai trouvé sur wiki pour la loi U est  E(x) = a+b/2 > logique et intuitif.
et V(x) = (b-a)²/12
Questions : Peut on utiliser ces résultats?
Comment trouve t on V(x)?

Si mes souvenirs sont corrects, si X est une aléatoire de densité f sur R, tu as :



Tu peux donc retrouver par le calcul E(X) et V(X). Cependant, il me semble que l'espérance et la variance d'une aléatoire uniforme doivent être connus par coeur.

En ce qui concerne Y, tu peux donc utiliser le formules que je te rappelle en prenant les intégrales entre 0 et + et f(t) = exp(-t).
Mais même dans le cas de Y, tu peux aussi utiliser des résultats connus car la loi de Y est appelée une loi exponentielle et elle fait partie des lois étudiées. Son espérance et sa variance sont à connaître.

A plus RR.

Par calcul des intégrales impropres successives,

Je trouve : E(x) = V(x) = 1

Merci Raymond au fait.

Bonjour.

Tes réponses sont en accord avec la théorie.

On appelle aléatoire exponentielle de paramètre a > 0, l'aléatoire continue X dont la fonction densité f est donnée par :



Alors :

.

Dans ton exercice, a = 1.

A plus RR.

C'est pas au programme de l'épreuve 3 du concours d'inspecteur.

L'administration nous trompe !!

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OPTION B : MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUES
1 - ANALYSE - ALGÈBRE
Notions sur les ensembles.

Opérations élémentaires sur les ensembles.

Relations binaires, applications, fonctions.

Puissances et notions d'exposant.

Extensions de la notion d'exposant.

Notions sommaires sur l'inverse de l'exponentiation et le passage aux logarithmes.

Progressions arithmétiques et géométriques ; intérêts composés.

Fonction puissance.

Fonctions exponentielles et logarithmiques.

Fonctions numériques d'une variable réelle.

Étude des variations d'une fonction, dérivées, notation différentielle formule des accroissements finis ; formule de Taylor.

Intégrales simples : interprétation géométrique.

Suites numériques, séries numériques : séries à termes positifs, séries alternées, séries entières, développements en séries entières.



Fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles, différentielles.

Courbes de niveau et d'indifférence.

Convexité : définition et propriétés.

Maximums et minimums ; multiplicateurs de Lagrange.

Algèbre linéaire.

Espaces vectoriels. Application aux équations linéaires et au calcul matriciel.

II - CALCUL DES PROBABILITÉS
Introduction au calcul des probabilités, axiomes, éléments d'analyse combinatoire, binôme de Newton.

Les variables aléatoires, variables discrètes et variables continues, espérance mathématique, variance.

Étude de quelques lois importantes : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi de Poisson, loi normale.

Les problèmes de probabilité des causes et le théorème de Bayes.

Notions sur les convergences (presque sûre, en probabilité, en loi), inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi des grands nombres, théorème de la limite centrale.

III - NOTIONS SOMMAIRES DE STATISTIQUE INDUCTIVE
Distributions d'échantillonnage : estimation de moyennes et de proportions, intervalles de confiance.

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Comme tu as remarqué, tu peux étudier l'espérance et la variance de la loi exponentielle sans les avoir vues en cours. Tu as calculé deux intégrales généralisées par intégration par parties, ce qui correpspond à un programme classique. Par contre, dans ton énoncé figurait le terme de loi uniforme qui n'est pas mentionné dans le programme que tu nous adresses. L'énoncé précisait-il que la fonction densité d'une telle loi est constante ?

A plus RR.

Oui, c'est au sujet de la loi uniforme que je me plaignais.

L'énoncé que j'ai donné ici correspond mot pour mot à celui de l'épreuve.
Aucune info n'est donné sur la loi uniforme. Mais bon, en catégorie B, j'ai eu le même tour. (exos hors programme). Ca doit permettre de sélectionner les postulants.  

As-tu le niveau terminale ? Il me semble que la loi uniforme est au programme de terminale.

A plus RR.

Oui, j'ai le niveau terminale (enfin, j'espère...)

Non, les lois de probas. ne sont plus au programme de terminale, tout du moins en 98 quand j'y étais.