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Exercice très simple mais je n'ai rien d'autre à faire à cette heure-ci

Multiplier X par n+1 donne une loi uniforme sur [0, n+1]. En prenant l'image fonctionnelle de [0,n+1] par la fonction partie réelle, on obtient que la variable Y prend ses valeurs sur {0, 1, ..., n+1}.

On calcule ensuite rapidement que pour 0kn,
P(Y=k)  =  P(k X.(n+1) < k+1)  =  P(k/(n+1) X < (k+1)/(n+1))  =  1/(n+1)
et P(Y=n+1) = 0

Y suit dont une loi uniforme discrète sur {0, 1, ..., n}

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et son espérance est n/2

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Si f continue bornée, une application du théorème de transfert + le TCD ou autre théorème de type Fubini(-Tonelli) + le fait que la loi uniforme est diffuse (sans atome), permet d'écrire



où est n'est autre que la loi uniforme sur {0,...,n} !
Donc E((n+1)X) suit (théorème portemanteau) la loi µ

Ensuite, pour trouver la moyenne demandée, il suffit de prendre , ce qui donne fort logiquement la moyenne arithmétique