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Loi uniforme et binomiale

Posté par
flight
13-04-20 à 18:52

Bonjour

Soient Uo,U1,......UN   des variables aleatoires independantes suivant chacune une loi uniforme sur [0,1] , soit  X la variables aléatoire tel que : X = max(Uo,U1,......,UN )   et soit N la variable aléatoire(indice de U)   qui une loi binomiale de parametre B(n,1/2).

Quelle est la loi X  ? ( j'espere n'avoir rien oublié )

Posté par
carpediem
re : Loi uniforme et binomiale 13-04-20 à 20:20

salut non mais des erreurs oui ...

flight @ 13-04-2020 à 18:52

Bonjour

Soient Uo,U1,......UN   des variables aleatoires independantes suivant chacune une la loi uniforme sur [0,1] , soit  X la variables aléatoire tel que : X = max(Uo,U1,......,UN )   et soit N la variable aléatoire(indice de U)   qui ?? une la loi binomiale de parametre B(n,1/2).

Quelle est la loi X  ? ( j'espere n'avoir rien oublié )


il y a une infinité de lois uniformes mais il n'y a qu'une unique loi uniforme quand on se donne l'intervalle [0, 1]

il y a une infinité de lois binomiales mais il n'y a qu'une unique loi binomiale dont les paramètres sont n et 1/2

Posté par
carpediem
re : Loi uniforme et binomiale 13-04-20 à 20:24

salut non mais des erreurs oui ...

flight @ 13-04-2020 à 18:52

Bonjour

Soient Uo,U1,......UN   des variables aleatoires independantes suivant chacune une la loi uniforme sur [0,1] , soit  X la variables aléatoire tel que : X = max(Uo,U1,......,UN )   et soit N la variable aléatoire(indice de U)   qui ?? une la loi binomiale de parametre B(n,1/2). de paramètres n et 1/2

Quelle est la loi X  ? ( j'espere n'avoir rien oublié )


il y a une infinité de lois uniformes mais il n'y a qu'une unique loi uniforme quand on se donne l'intervalle [0, 1]

il y a une infinité de lois binomiales mais il n'y a qu'une unique loi binomiale dont les paramètres sont n et 1/2

les notations B(n, 1/2) comme U([0, 1]) sont des conventions qui permettent de nommer une loi particulière en intégrant les paramètres mais ce ne sont pas les paramètres ...

Posté par
flight
re : Loi uniforme et binomiale 14-04-20 à 09:22

Merci pour ces corrections .... ok je reverrai l'usage de "le", "la" "une " .....sinon ..à part ca?

Posté par
carpediem
re : Loi uniforme et binomiale 14-04-20 à 10:04

il me semble que l'énoncé est mal posé ... je le verrai plutôt ainsi (d'après ce que je comprends) :

soit n un entier (non nul) (et fixé ?) et N une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, 1/2)  (1)

soit alors N + 1 variables aléatoires X0, X1, ..., XN suivant la loi uniforme U([0, 1])

soit X la variable aléatoire définie par X = \max_i (X_i)

quelle est la loi de X ?

mais je ne sais pas si c'est exactement ce que tu demandes ...

(1) : on pourrait d'ailleurs choisir n'importe quelle loi sur l'intervalle d'entiers [[0, n]] ... la seule conséquence est de compliquer plus ou moins le pb ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
jandri Correcteur
re : Loi uniforme et binomiale 14-04-20 à 16:44

Bonjour,
j'ai compris l'énoncé comme carpediem.
On calcule d'abord la fonction de répartition de X :

 Cliquez pour afficher

On en déduit la densité de X :
 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : Loi uniforme et binomiale 14-04-20 à 16:55

salut  jandri , merci pour ta participation ,  comment tu trouve ton expression de P(Xt )  car j'aurai posé  

P(Xt)=P(max(Uo,...UNt)=
P(UoU1t.....UNt)= tN

Posté par
flight
re : Loi uniforme et binomiale 14-04-20 à 16:56

plutot tN+1

Posté par
jandri Correcteur
re : Loi uniforme et binomiale 14-04-20 à 18:32

@flight
La loi de X se calcule en faisant intervenir la loi de N mais P(X\leq t) ne peut pas dépendre de N qui est une variable aléatoire.
Il faut utiliser la formule des probabilités totales :

 Cliquez pour afficher

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