Bonjour,
C'est en terminant la rédaction de ma question que j'ai trouvé la réponse, alors vu que j'ai passé 40 minutes à rédiger, je le poste quand même. alors désolé pour le dérangement...
On a et
J'ai trouvé les estimateurs
On me demande de montrer que chaque estimateur converge presque sûrement vers les inconnues a et b en utilisant le lemme de Borel Cantelli
Que c'est compliqué ! est ps inférieur à b dont tu peux directement écrire
Ensuite, ta justification de la convergence de la série n'est pas satisfaisante. Il faut montrer que la raison de ta suite géométrique est strictment inférieure à 1 en valeur absolue. C'est facile, il suffit de remarquer que quand , , donc en divisant par b-a>0, .
Quand r est négatif, la probabilité vaut 1, mais ce cas est exclus dans ton théorème.
Enfin, P-ps, donc quand r>b-a, la probabilité vaut 0 et la convegence de la série géométrique est triviale.
Désolé, je reviens sur ce point
Si tu préfères, tu peux aussi écrire que pour tous n réels , tu auras .
Et en appliquant avec pour tout , où est un ensemble mesurable tq , tu obtiendras un encadrement presque-sûr de et
Ta question c'est "que veut dire presque sûrement ?" ? Bizarre que tu ne saches pas, c'est dans l'énoncé de ton théorème de Borel-Cantelli
Si est une mesure de probabilité sur on dit qu'un évènement arrive presque-sûrement si . P étant de masse 1, finie, c'est équivalent à demander que .
Si sont deux v.a sur , -presque sûrement signifie que .
Ca veut dire que peut très bien arriver, mais seulement sur un ensemble de probabilité 0.
Et tant que j'y suis, voilà un énoncé du lemme de Borel Cantelli plus général
Soit un espace probabilisé.
Pour tout suite d'éléments de (chaque est donc une partie de ), on appelle
l'ensemble . C'est un ensemble mesurable (intersection et union dénombrable de tels ensembles) et . Autrement dit, pour une infinité d'indices k (on dit "infiniment souvent").
De même, on appelle et ssi ssi à partir d'un certain rang.
Tu peux vérifier que
Lemme de Borel-Cantelli
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