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Lois géométriques, espérance

Posté par
Ennydra 19-05-16 à 11:54

Bonjour.

Je réétudie d'anciens exercices de probabilités que je n'avais pas fait.

Je m'arrête sur celui-ci :

X et Y deux variables aléatoires, indépendantes, de loi géométriques de paramètres respectifs p et q dans ]0,1[.

Calculer P(max(X,Y)>n) et calculer l'espérance de E[max(X,Y)].

J'ai vu que P(max(X,Y)>n) = P(X>n OU Y>n)...
Ou je dois utiliser P(max(X,Y)>n) = 1-P(max(X,Y)<=n) ?

Merci d'avance...

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 12:20

Bonjour,

Les deux événements \{X>n\}  et \{Y>n\}  ne sont à priori pas disjoints, donc il ne sera pas si aisé de calculer \mathbb{P}(max(X,Y)>n).

Par contre, \{max(X,Y)<n\}=\{X<n\}\cap\{Y<n\} , et puisque X et Y sont indépendantes, il est assez facile de calculer la probabilité de cet événement.

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 12:30

Merci !

Donc on a 1-P(X=<n)P(Y=<n).

On sait que P(X=<n)=1-P(X>n)=1-(1-p)^n
P(Y=<n)=1-(1-p)^n

Donc :
1-P(X=<n)P(Y=<n)=1-(1-(1-p)^n)(1-(1-p)^n)=1-(1-(1-p)^n)^2

Est-ce juste ?

Pour l'espérance, as-tu une idée ?

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 12:37

Citation :
1-P(X=<n)P(Y=<n)


Il n'y a aucune raison que cela soit vrai.

En fait, l'indépendance de X et de Y se traduit ainsi : pour tous entiers naturels k et l, \mathbb{P}(X=k , Y=l)=\mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=l).
Donc ici tu as : \mathbb{P}(max(X,Y)<n) =\mathbb{P}(X<n , Y<n) =...
A toi de compléter. On verra pour l'espérance après.

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 12:38

Mince, j'avais mal lu, trente seconde je regarde.

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 12:41

Ok pour ce que tu as fais, au moins le début .

"P(Y=<n)=1-(1-p)^n " Ceci est faux car le paramètre de la loi que suit Y est q et non p.

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 13:22

Ah oui mince, je me mélange les pinceaux

Pour reprendre : 1-(1-(1-p)^n)(1-(1-q)^n) (avec q et non p pour Y)

En développant ce terme, je trouve 1-(1-(1-p)^n-(1-q)^n+(1-p)^n (1-q)^n) \\ = (1-p)^n+(1-q)^n-(1-p)^n (1-q)^n \\ = (1-p)^n + (1-q)^n (1-(1-p)^n)

Je ne vois pas comment le développer davantage...
C'est juste ?

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 13:33

Oui c'est juste, tu peux t'arrêter ici :

\mathbb{P}(max(X,Y)<n)=(1-p)^n+(1-q)^n+((1-p)(1-q))^n.

Pour l'espérance, tu peux utiliser le fait général suivant : si V est une variable aléatoire à valeurs entières,  \{V\geq k\}=\{V\geq k+1\} \cup \{V=k\}, et l'union étant disjointe, \mathbb{P}(V=k)=P(V\geq k)-P(V\geq k+1).

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 15:31

Merci !

Alors par définition de l'espérance E[X]=\sum x_i p_i...

Si je note E[\max(X,Y)] = P(\max(X,Y)=k)*k = (P(\max(X,Y) \geq k) - P(\max(X,Y) \geq k+1) )*k

Est-ce que la formule est juste (je ne la développe pas au cas où je me sois plantée) ? J'ai peut-être oublié un indice somme...

Sinon P(max(X,Y)=k) = P(X=k ET Y \geq k) OU P(Y=k ET X \geq k) c'est bien ça ?

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 15:32

Mince, pour la dernière formule je me suis trompée, je voulais écrire \leq et pas \geq.
J'ai du mal avec le latex!

Posté par
lafol Moderateurre : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 16:27

Bonjour
avec \LaTeX ? ou avec l'anglais ? (\geq comme greater or equal, \leq comme less or equal )

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 17:09

Bonjour lafol.

Ennydra pour l'espérance, tu as oublié la somme!

\mathbb{E}(max(X,Y)=k)=\limits \sum_{k=0}^{+\infty} k\mathbb{P}(max(X,Y)=k)=\limits \sum_{k=0}^{+\infty} k(\mathbb{P}(max(X,Y)\geq k)-\mathbb{P}( max(X,Y)\geq k+1)) , puis tu sépare la somme et tu utilises ce que l'on a déjà calculé précédemment, à savoir \mathbb{P}(max(X,Y) > k).

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 19:07

lafol en effet y a un bon petit problème d'anglais...

Quentin, j'en suis donc à :

E[max(X,Y) = k] \\ = \sum_{k=0}^{+ \infty} k(P(\max(X,Y) \geq k) - P(\max(X,Y) \geq k+1)) \\ = \sum k [(1-p)^k + (1-q)^k -(1-p)^k (1-q)^k-(1-p)^{k+1}-(1-q)^{k+1}+(1-p)^{k+1} (1-q)^{k+1}]

La formule est -pour l'instant- plutôt lourde...

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 20:05

Avant de remplacer, on peut simplifier un peu, je t'aide pour les calculs (en détaillant pas mal, on peut faire plus rapide) :

\\ E[max(X,Y) = k] \\ = \sum_{k=0}^{+ \infty} k(P(\max(X,Y) \geq k) - P(\max(X,Y) \geq k+1)) \\ =\sum_{k=0}^{+ \infty} k(P(\max(X,Y) \geq k) )-   \sum_{k=0}^{+ \infty} kP(\max(X,Y) \geq k+1)) \\ =\sum_{k=1}^{+ \infty} k(P(\max(X,Y) \geq k) )-   \sum_{k=0}^{+ \infty} kP(\max(X,Y) \geq k+1)) \\ =\sum_{k=0}^{+ \infty} (k+1)(P(\max(X,Y) \geq k+1) )-   \sum_{k=0}^{+ \infty} kP(\max(X,Y) \geq k+1)) \\ =\sum_{k=0}^{+ \infty} kP(\max(X,Y) \geq k+1) +\sum_{k=0}^{+ \infty} P(\max(X,Y) \geq k+1) -   \sum_{k=0}^{+ \infty} kP(\max(X,Y) \geq k+1)) \\ =\sum_{k=0}^{+ \infty} P(\max(X,Y) \geq k+1) \\ =... \\

Je te laisse compléter, si tu as des question sur les calculs n'hésite pas.

Posté par
verdurinre : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 21:16

Bonsoir,
juste pour condenser ce que dit Quentin-974.

Si M est une variable aléatoire à valeurs dans \N ayant une espérance, alors

$E$(M)=$P$(M>0)+$P$(M>1)+$P$(M>2)+\cdots \\ \phantom{E(M)}=\sum_{n=0}^{\infty}$P$(M>n) \\

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 21:19

Wow ! Effectivement sacrée simplification Je n'aurais pas pensé à le faire "instinctivement", notamment le passage de k à k+1 ! Du coup ça facilite vachement la vie, le résultat final sera \sum (1-p)^{k+1} +(1-q)^{k+1} - (1-p)^{k+1} (1-q)^{k+1}

Peut-on écrire \sum (1-p)^{k+1} + \sum (1-q)^{k+1} - \sum [(1-p)(1-q)]^{k+1} ? Dans ce cas, il est assez simple de conclure !

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 21:22

Ah non je suis bête, oubliez ma dernière question...

Merci pour la remarque verdurin, je vais noter cette formule

Posté par
verdurinre : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 21:44

Pour continuer,
en notant \bar{p}=1-p et \bar{q}=1-q on a

$P$(\max(X,Y)>n)={\bar{p}}^n+{\bar{q}}^n-(\bar{p}\bar{q})^n

Et la somme est facile à calculer.

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 22:40

Je ne pouvais pas répondre plus tôt, verdurin m'a très justement devancé, mais j'allais faire la même remarque : c'est une formule à retenir!
Il y a d'ailleurs l'analogue pour les VA continues positives, en remplaçant la somme par une intégrale (de 0 à +\infty).

Posté par
verdurinre : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 22:45

Salut Quentin-974.
Je m'excuse d'être intervenu de la sorte.
Mais il m'a semblé que ton résultat était noyé dans sa démonstration.

C'est pourquoi j'ai cru bon de le mettre en valeur.

Amicalement,
verdurin.

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 19-05-16 à 22:57

Re,

Non justement tu as bien fait et je t'en remercie

Posté par
Ennydrare : Lois géométriques, espérance 21-05-16 à 16:55

Merci beaucoup Quentin et Verdurin. J'ai compris et terminé mon exercice

Posté par
Quentin-974re : Lois géométriques, espérance 22-05-16 à 00:38

De rien


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