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Longueur de courbe polaire (suite 2)

Posté par
matheux14 04-12-21 à 11:32

Salut, c'est la 2e suite  du topic Longueur de courbes polaires

3) \rho = \cos^{3} \left(\dfrac{\theta}{3}\right)

Soit (\Gamma) le support donné par \rho = f(\theta) =  \cos^{3} \left(\dfrac{\theta}{3}\right)

J'ai essayé de trouver la période fe f mais je n'ai pas pu.. En regardant la courbe sur GeoGebra j'ai compris qu'elle n'avait pas de période. Çà coince aussi pour l'ensemble de définition..

\vec{F}(t) =f(\theta) \vec{u}_r + f(\theta) \vec{u}_0 dans le repère (O , \vec{u}_r ; \vec{u}_0)

Donc \vec{F}'(t) =f'(\theta) \vec{u}_r + f(\theta) \vec{u}_0= \rho' \vec{u}_r +\rho \vec{u}_0 = -3\sin \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\cos² \left(\dfrac{\theta}{3}\right) \vec{u}_r +\cos^{3} \left(\dfrac{\theta}{3}\right) \vec{u}_0

||\vec{F}'(t)||=\sqrt{9\sin² \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\cos^4 \left(\dfrac{\theta}{3}\right) +\cos^6 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)}=\sqrt{\cos^4 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)  \left[9\sin² \left(\dfrac{\theta}{3}\right)+ \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\right]}=\cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\sqrt{1+8\sin² \left(\dfrac{\theta}{3}\right)}

L(\Gamma) = {\Large{\int}} \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\sqrt{1+8\sin² \left(\dfrac{\theta}{3}\right)} d \theta

Posté par
ty59847re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 12:01

Pas de période ??????

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 12:57

Pour la période regarde de plus près.

Ensuite dans ton calcul  de f'(\theta) tu oublies qu'il faut multiplier par la dérivée de \theta/3, ce qui a l'heureux effet de faire disparaître le facteur 3

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 13:24

Donc \vec{F}'(t) =f'(\theta) \vec{u}_r + f(\theta) \vec{u}_0= \rho' \vec{u}_r +\rho \vec{u}_0 = -\sin \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\cos² \left(\dfrac{\theta}{3}\right) \vec{u}_r +\cos^{3} \left(\dfrac{\theta}{3}\right) \vec{u}_0

||\vec{F}'(t)||=\sqrt{\sin² \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\cos^4 \left(\dfrac{\theta}{3}\right) +\cos^6 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)}=\sqrt{\cos^4 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)  \left[\sin² \left(\dfrac{\theta}{3}\right)+ \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)\right]}=\cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right)}

L(\Gamma) = {\Large{\int}} \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right) d \theta

De plus proche : Longueur de courbe polaire (suite 2)

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 14:21

Oui, et je découvre à cette occasion que cette courbe est connue (enfin, par les spécialistes) sous le nom de "sextique de Cayley" , ce qui peut faire un certain effet lors d'un dîner en ville.

As-tu trouvé la période ?

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 15:16

Citation :
Oui, et je découvre à cette occasion que cette courbe est connue (enfin, par les spécialistes) sous le nom de "sextique de Cayley" , ce qui peut faire un certain effet lors d'un dîner en ville.


Ah d'accord.

Pour la période oui, mais pas en utilisant le graphique.

En essayant avec des valeurs à la calculatrice, j'ai trouvé 6\pi comme période.

Posté par
ty59847re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 15:40

Et maintenant, sans la calculatrice :
On a cos ( t/3) ... ensuite ce cosinus , on l'élève au cube. Mais peu importe
Si on trouve la période de cos(t/3), cette période restera valable quand on va prendre le cube de cette fonction.  
T'es convaincu de ça ou pas ?

Et le fait que 6 \pi soit la période de cos (t/3) ... c'est une surprise ?

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 15:51

D'accord avec vous. C'est bien ce que je cherchais à vérifier en élévant au cube.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 16:53

Pour l'ensemble de définition je trouve \left]0 ~; \dfrac{\pi}{3}\right[

\Large{L(\Gamma) = \int^{\pi/3}_{0} \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right) d \theta}

J'ai essayé de faire par partie mais çà se complique.

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 17:35

C'est quoi cette histoire d'ensemble de définition ? cos(\theta/3) est toujours défini.

Pour calculer l'intégrale il faut exprimer le cos^2 en fonction du cosinus de l'angle double.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 19:46

Du coup pour les bornes je peux prendre 0 et 2\pi ?

\cos(2x)=\cos²(x)-\sin²(x)=2\cos²(x)+1 \Rightarrow \cos²(x) = \dfrac{\cos(2x)+1}{2}

\cos²\left(\dfrac{\theta}{3} \right) = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2\theta}{3}\right)+1}{2}

L(\Gamma) = \int^{2\pi}_{0} \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{3}\right) d \theta =\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_{0} \cos\left(\dfrac{2\theta}{3}\right)+1 ~ d\theta = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{3}{2}\sin\left(\dfrac{2\theta}{3}\right) +\theta  \right]^{2\pi}_{0} = \dfrac{8\pi -3\sqrt{3}}{8}

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 20:59

Algébriquement ton calcul est correct, mais quand tu intègres de 0  à 2\pi, tu mesures la longueur de la portion de courbe dessinée à 13h24.
Il te manque la portion d'arc qui va, en dessous de l'axe des x, du point double (-1/8 , 0) au point (1, 0)   (la courbe est symétrique par rapport à cet axe)

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 21:21

Du coup je dois ajouter cette aire à mon résultat de19h46 ?

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 22:11

Oui, il faut compléter le tracé de 19h46.

Regarde là

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 22:18

Le tracé de 19h46 ?

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 22:24

Pardon, le tracé de 13h24 est à compléter, oui.

Et le calcul de 19h46 ne donne pas la longueur de la courbe, il en manque un bout

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 22:30

D'accord, mais quelles sont les bornes affectées à l'intégrale pour le calcul de la longueur de ce bout ?

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 22:36

Il faut aller jusqu'à 3\pi, pour retrouver le point de départ.

Prend une feuille de papier et dessine les points de \pi/2 en \pi/2 en partant de \theta=0 pour voir ce qui se passe.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 04-12-21 à 23:10

D'accord, mais je ne vois pas grand chose.. J'ai pas compris pourquoi est-ce qu'on devrait aller jusqu'à 3π

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 05-12-21 à 06:32

Rapidement car je ne serai pas disponible avant la fin d'après midi. Aide-toi de Wolfram par exemple .

J'ai fait varier de 0 à 2, mais tu peux modifier et regarder pas à pas.

Peut-être un autre intervenant prendra-t-il le relais.

Bonne journée.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 05-12-21 à 07:12

Ok, bonne journée à vous aussi.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 10-12-21 à 23:00

Bonsoir,

Je continue là où je me suis arrêté.

\forall \theta \in [0 ; 3\pi]

L(\Gamma) = \int^{3\pi} _{0} \cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right) d\theta =\dfrac{1}{2} \int^{3\pi} _{0} \cos\left( \dfrac{2\theta}{3} \right) + 1 d\theta = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{3}{2} \sin\left( \dfrac{2\theta}{3} \right) + \theta \right]^{3\pi} _{0} = \dfrac{3\pi}{2}

L(\Gamma) = \dfrac{3\pi}{2}

* Calcul de la courbure

La courbure \gamma = \dfrac{d \alpha}{ds} ~\begin{cases} \alpha = \theta +V \\  \theta \in [0 ; 3\pi] \end{cases} où V est l'angle entre OM et le vecteur \vec T tangent au point M de la courbe.

On a : \tan V = \dfrac{\rho}{\rho'} = \dfrac{\cos^3 \left( \dfrac{\theta}{3} \right) }{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)} = \cos \left( \dfrac{\theta}{3} \right)

Donc V = \arctan \left[ \cos \left( \dfrac{\theta}{3} \right)  \right]  \Rightarrow \alpha = \theta + \arctan \left[ \cos \left( \dfrac{\theta}{3} \right)  \right]

\gamma = \dfrac{d \alpha}{ds}= \dfrac{d \alpha \dfrac{1}{d \theta} }{ds \dfrac{1}{d \theta}} = \dfrac{d \alpha}{d \theta}*\dfrac{d \theta}{d s} =\left( \theta + \arctan \left[ \cos \left( \dfrac{\theta}{3} \right)  \right]' \right) * \left( \dfrac{1}{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)}\right) =

\gamma = \dfrac{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)+2}{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)+\cos^{4}\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}

4) \rho = \tanh\left( \dfrac{\theta}{2} \right)

Pour la période je ne vois pas vraiment.. La courbe devient un cercle pour theta = 25pi/3. Du coup je prends [0 ; 2pi] pour mon travail.

*Calcul de la longueur du support

Le support donné par \rho = f(\theta) = \tanh\left( \dfrac{\theta}{2} \right)

Dans le repère polaire (O, \vec{u}_r ; \vec{u}_{\theta})  ; \vec{F}(\theta) =f(\theta)\vec{u}_r + f(\theta)\vec{u}_{\theta} \Rightarrow \vec{F}'(\theta) =f'(\theta)\vec{u}_r + f(\theta)\vec{u}_{\theta}

f'(\theta) = \dfrac{d \rho}{d \theta} = \left[\tanh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]' = \dfrac{1}{\cosh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)} \Rightarrow \vec{F}'(\theta) = \dfrac{1}{\cosh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\vec{u}_r + \tanh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \vec{u}_{\theta}

|| \vec{F}'(\theta) || = \sqrt{\dfrac{1}{\cosh^4 \left( \dfrac{\theta}{2} \right) +\tanh² \left( \dfrac{\theta}{2} \right)} = \sqrt{\dfrac{1}{\cosh^4 \left( \dfrac{\theta}{2} \right)} + \dfrac{\sinh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\cosh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \sqrt{\dfrac{\cosh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)+\cosh^{4}\left( \dfrac{\theta}{2} \right) {\sinh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\cosh^{6}\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} \dfrac{\sqrt{1+\left[\cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \sin\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]}}{\cosh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}

_{\sinh\left( \dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\theta}{2} \right) =\cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \sinh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) + \cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \sinh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) = 2\cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \sinh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) =\sinh(\theta) \Rightarrow \cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \sin\left( \dfrac{\theta}{2} \right) = \dfrac{\sinh(\theta)}{2}}

|| \vec{F}'(\theta) || = \sqrt{1 + \dfrac{\sinh²(\theta)}{4}} * \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right)} = \sqrt{\dfrac{4+\sinh²(\theta)}{4}} * \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}=\sqrt{\dfrac{3+\cosh²(\theta)}{4}} * \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right)} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\cosh²(\theta) + 3 }{\cosh^{4}\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}

On montre que  \cosh² \left( \dfrac{\theta}{2} \right) = \dfrac{\cosh(\theta)+1}{2}

|| \vec{F}'(\theta) || =\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\cosh²(\theta) + 3 }{\cosh^{4}\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \dfrac{\sqrt{\cosh²(\theta)+3}}{\cosh(\theta)+1}

Donc L(\Gamma) = \int^{2\pi}_{0} \dfrac{\sqrt{\cosh²(\theta)+3}}{\cosh(\theta)+1}

On pose t = \cosh(\theta) ~; ~ \begin{cases} \theta \to 0 ~; ~ t \to \cosh(0) = 1 \\ \theta \to 2\pi ~;~ t  \to \cosh(2\pi) \end{cases} et t = \cosh(\theta) \Rightarrow \theta = \cosh^{-1} (t) \Rightarrow d \theta = \text{arg}\cosh'(t) = \dfrac{1}{\sqrt{t²+1}}

Donc L(\Gamma) = \int^{\cosh(2\pi)}_{1} \dfrac{\sqrt{t²+3}}{(t+1) \sqrt{t²-1}} =\int^{\cosh(2\pi)}_{1} \dfrac{\sqrt{t²+3}}{ \sqrt{t^4 -2t^3 -2t-1}} dt

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 10-12-21 à 23:11

La ligne où y a l'erreur c'est :  || \vec{F}'(\theta) ||= \dfrac{\sqrt{1+\left[\cosh\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \sin\left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]}}{\cosh²\left( \dfrac{\theta}{2} \right)}

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 08:32

Bonjour,

Je n'ai pas trop le temps ce matin et reviendrai dans l'après midi, mais déjà

\tan V = \dfrac{\rho}{\rho'} = \dfrac{\cos^3 \left( \dfrac{\theta}{3} \right) }{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)} = \cos \left( \dfrac{\theta}{3} \right)

est faux. Tu ne dérives pas correctement \rho(\theta)

Ensuite la fonction \tanh n'est absolument pas périodique et la courbe représentative de \rho=\tanh(\theta/2) ne devient pas un cercle , mais admet le cercle d'équation polaire \rho=1 comme cercle asymptote.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 13:15

On a : \tan V = \dfrac{\rho}{\rho'} = \dfrac{\cos^3 \left( \dfrac{\theta}{3} \right) }{-\sin \left( \dfrac{\theta}{3} \right)\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)} =-\dfrac{\cos \left( \dfrac{\theta}{3} \right) }{\sin \left( \dfrac{\theta}{3} \right)} =  -\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}

Donc V = \arctan \left[  -\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)} \right]  \Rightarrow \alpha = \theta + \arctan \left[  -\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}  \right]

\gamma = \dfrac{d \alpha}{ds}= \dfrac{d \alpha \dfrac{1}{d \theta} }{ds \dfrac{1}{d \theta}} = \dfrac{d \alpha}{d \theta}*\dfrac{d \theta}{d s} =\left( \theta + \arctan \left[   -\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}  \right]' \right) * \left( \dfrac{1}{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)}\right) = 1 + \dfrac{1}{\dfrac{1}{\tan²\left(\dfrac{\theta}{3}\right)}+1}*\dfrac{1}{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)} = \dfrac{\sin² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)+1}{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)}

\gamma = \dfrac{\sin² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)+1}{\cos² \left( \dfrac{\theta}{3} \right)}

Posté par
Pirhore : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 14:06

Bonjour,

en attendant le retour de larrech que je salue

je n'ai pas vérifié le début de ton calcul mais je pense que à  l'avant dernière ligne, le calcul de la dernière expression ne donne pas le résultat final

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 14:28

Pourquoi ?

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 14:43

Bonjour Pirho, oui la dérivée de V est fausse.

@matheux14

{\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}= tan(\pi/2-\theta/3),
on peut donc se douter que la dérivée par rapport à  \theta de  \arctan\left (-\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}\right)

doit être une constante

Posté par
Pirhore : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 16:14


@ larrech

\\ \\ {\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}= tan(\pi/2-\theta/3)\right
je trouvais la même chose

je vous laisse

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 18:49

J'ai pas compris..

\arctan'(x) = \dfrac{1}{tan'(\arctan(x))}=\dfrac{1}{1+x²} ; x \in \left]\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right[ non ?

J'ai oublié les parenthèses dans mon message de 13h 15

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 18:58

Je n'ai pas dit le contraire, mais si tu fais le calcul (donc sans voir ce que j'ai suggéré à 14h43) et que tu dérives arctan(1/tan(/3)) n'oublie pas que tu dérives une fonction composée.

Tu en oublies toujours la moitié (ici les 2/3) en route.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 19:30

Je trouve \left[\arctan\left (-\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}\right) \right]'= \dfrac{4\sin²\left( \dfrac{\theta}{3} \right)+1}{3\sin²\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}= \dfrac{5}{3}+\dfrac{\cos²\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}{3\sin²\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}

Je ne vois pas la constante dont vous parliez.

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 21:06

Posons f(\theta)=\arctan\left (-\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)}\right) \right

C'est une fonction de   u=-\dfrac{1}{\tan\left( \dfrac{\theta}{3} \right)} qui est elle même fonction de v=tan(\theta/3) elle même fonction de w=\theta/3

f'_{\theta}=f'_u* u'_v* v'_w* w'_{\theta}

f'_{\theta}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\tan^2(\theta/3)}}\times\dfrac{1}{\tan^2(\theta/3)}\times (1+\tan^2(\theta/3) \times (1/3)= 1/3

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 22:04

D'accord, donc \gamma = \dfrac{1}{3\cos \left(\dfrac{\theta}{3} \right)}

Pour la question 4) comment calculer  L(\Gamma) = \int^{\cosh(2\pi)}_{1} \dfrac{\sqrt{t²+3}}{ \sqrt{t^4 -2t^3 -2t-1}} dt

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 22:04

matheux14 @ 11-12-2021 à 22:04

D'accord, donc \gamma = \dfrac{1}{3\cos {\red{²}}\left(\dfrac{\theta}{3} \right)}

Pour la question 4) comment calculer  L(\Gamma) = \int^{\cosh(2\pi)}_{1} \dfrac{\sqrt{t²+3}}{ \sqrt{t^4 -2t^3 -2t-1}} dt

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 22:11

Tu oublies oublies qu'on dérive  \theta+V

Finalement \gamma = \dfrac{{\red4}}{3\cos {\red{²}}\left(\dfrac{\theta}{3} \right)}

Je regarderai l'autre demain.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 22:14

Ok, bonne soirée à vous ; j'aurez un autre exo demain c'est un dm.

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 23:31

Pour gagner du temps car je ne serai pas là demain matin. Je note t au lieu de \theta et r au lieu de \rho.

Une courbe d'équation polaire du type r= \tanh(t/2) s'appelle "spirale de la tangente hyperbolique.

r'_ t= \dfrac{1-\tanh^2 (t/2)}{2}

d'où r^2+r'^2=\dfrac{1}{4}(tanh^4(t/2)+2tanh^2(t/2)+1)= \dfrac{1}{4}(tanh^2(t/2)+1)^2

ce qui arrange bien les choses...

Bonne fin de soirée.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 11-12-21 à 23:34

Ok merci

Posté par
Razesre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 10:20

Bonjour,

Quelque chose n'est pas bonne dans ton intégrale. Vérifie ta borne inferieure avec ton expression \sqrt{t^4 -2t^3 -2t-1}

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 10:31

Je ne comprends pas..

Posté par
Razesre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 10:36

Est ce que c'est défini en 1?

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 10:37

Non

Posté par
Razesre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 10:46

Donc il y a une erreur dans l'énonce. Tu peux vérifier le signe de t^4 -2t^3 -2t-1 avec geogebra pour constater que cette expression est négative sur un intervalle inclus entre tes deux bornes.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 11:01

Ah oui, sur l'intervalle ]1 ; 3[~ \subset~ ]1 ; \cosh(2\pi)[ ; t^4 -2t^3-2t-1 \le 0

Donc il y a un problème dans l'énoncé

Merci

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 12:51

C'est quoi cette histoire d'erreur d'énoncé?

On cherche à rectifier une courbe parfaitement définie en polaires. Il suffit de ne pas se tromper dans ses calculs.

Hier soir 23h31 je montre que (ds/dt)2 (t pour ) est le carré parfait d'une quantité toujours positive.

Certes je n'ai pas détaillé tout le calcul, mais quand même...

Il n'y a plus qu'à passer à l'intégrale de 0 à u pour un angle polaire u quelconque, ou 0 à 2 pour la longueur de la première spire.

Posté par
Razesre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 16:12

Bonjour larrech,
On se calme, ton calcul est bon. J'ai posté ma remarque concernant la question 4) posté le 11-12-21 à 22:04.

Posté par
larrechre : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 16:37

Bonjour Razes

J'ai bien compris que tu n'avais pas regardé le contexte, mais matheux14 le connaissais, lui.

Posté par
matheux14re : Longueur de courbe polaire (suite 2) 12-12-21 à 16:55

Oui, désolé.

Je n'avais pas fait attention


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