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Longueur de courbes polaires (suite)

Posté par
matheux14
03-12-21 à 13:46

2) \rho = 3\theta

* Calculons la longueur de la courbe

Soit (\Gamma) le support donné par \rho = f(\theta) = 3\theta.

\forall \theta \in ]-\pi ; \pi[ ; dans le repère (O ; \vec{u}_r ; \vec{u}_0)

On a : \vec{F}(\theta) = f(\theta)\vec{u}_r+f(\theta) \vec{u}_0

D'où \vec{F}'(\theta) = f'(\theta)\vec{u}_r+f(\theta) \vec{u}_0 =3\vec{u}_r+(3\theta)\vec{u}_0

Donc ||\vec{F}'(\theta)||=\sqrt{(f'(\theta))²+(f(\theta))²}=\sqrt{3²+(3\theta)²}=3\sqrt{\theta²+1}

Il vient L(\Gamma) =3 \int^{\pi}_{-\pi} \sqrt{\theta²+1} d\theta

J'ai essayé de trouver la primitive de \sqrt{\theta²+1} avec Wolfram et çà me donne \dfrac{1}{2}(\theta \sqrt{\theta²+1}+\sin h^-1(\theta))

Mais je ne sais pas comment faire pour arriver à ce résultat.

malou edit

Posté par
larrech
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 13:58

Pour la précédente, tu as revu tes calculs ? Tout baigne ?

Ici, tu as affaire à une courbe nommée "spirale d'Archimède". Sa longueur est infinie, par contre on peut évaluer la longueur d'un arc, par exemple de 0 à 2\pi

Pour trouver une primitive, on fait, de façon classique,  le changement de variable \theta=\sinh u

Posté par
matheux14
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 15:29

Du coup je mets 0 et 2\pi comme bornes de l'intégrale ?

Oui j'ai pu vérifier. Ça passe.

Posté par
larrech
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 15:34

On met ce qu'on  veut, 0, a  , a quelconque.

Mais si on veut la longueur de la 1ère spire, c'est 0, 2

Posté par
matheux14
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 15:47

D'accord, du coup L(\Gamma) = 3 \sin h(2\pi)

Posté par
larrech
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 15:56

Non,  la primitive que t'as donné Wolfram, prise entre 0 et 2, ne donne pas ce résultat

Posté par
larrech
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 15:57

t'a donné

Posté par
matheux14
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 19:00

L(\Gamma) = \int^{2\pi}_{0} 3\sqrt{\theta²+1} d\theta

Posons \theta = \sin h(u)

\begin{cases} \theta \to 2\pi \\ u \to \sin h^{-1}(2\pi) \\ \theta \to 0 \\ u \to \sin h^{-1}(0)=0 \end{cases}

\Large{L(\Gamma) = 3\int^{\sin h^{-1}(2\pi)}_{0} \sqrt{\sin h²(u)+1} du = 3\int^{\sin h^{-1}(2\pi)}_{0} \sqrt{\sin h²(u)+\cos h²(u) -\sin h²(u)} du = 3\int^{\sin h^{-1}(2\pi)}_{0} \sqrt{\cos h²(u)} du =3\int^{\sin h^{-1}(2\pi)}_{0} \cos h(u)du=3[\sin h(u)]^{\sin h^{-1}(2\pi)}_{0}}= 6\pi}

Posté par
larrech
Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 19:22

Ouh là , là, beaucoup de choses à revoir.

Quand tu fais un changement de variable dans une intégrale par exemple en posant x=g(u) :

f(x) dx devient f(g(u)) g'(u) du

Ici, en laissant de côté le facteur 3 et sans indiquer les bornes

\begin{aligned}\int\sqrt{1+\theta^2} d\theta=\int\sqrt{1+\sinh^2u}  \cosh u   du =\int\cosh^2 u  du\end{aligned}

puis on utilise une relation entre  \cosh^2u et \cosh 2u

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 20:56

\cosh 2u = \cosh²u+\sinh²u \Rightarrow \cosh²u=\cosh 2u -\sinh²u

Çà se complique il me semble..

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 21:04

Non, il faut revoir ta trigo  hyperbolique

\cosh 2u = \cosh²u+\sinh²u =\cosh²u+\cosh²u-1=2\cosh²u-1

d'où    \cosh²u=\dots

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 21:33

\dfrac{\cosh 2u +1}{2}

On trouve \Large{L(\Gamma)=\int^{\sinh^{-1}(2\pi)}_{0} \dfrac{\cosh(2u)+1}{2} du =\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2} \sinh(2u)+u\right]^{\sinh^{-1}(2\pi)}_{0}=\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2} \sinh(2\sinh^{-1}(2\pi))+\sinh^{-1}(2\pi)\right]-\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2} \sinh(2*0)+0\right]=\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2} \sinh(2\sinh^{-1}(2\pi))+\sinh^{-1}(2\pi)\right]}

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 22:47

Il y a plus simple

\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2} \sinh(2u)+u\right)=\dfrac{1}{2}\left( \sinh(u) \cosh(u)+u\right)=\dfrac{1}{2}\left(\theta\sqrt{\theta^2+1}+\sinh^{-1}(\theta)\right)

Dons L=\dfrac{1}{2}\left(2\pi\sqrt{4\pi^2+1}+\sinh^{-1}(2\pi)\right)

\sinh^{-1} se note plus usuellement arg\sinh , au moins chez nous.

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 23:11

Ok, comment faire pour déterminer l'allure de la courbe ?

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires 03-12-21 à 23:20

Comme son nom l'indique c'est une spirale.
Tu peux tracer quelques points pour le valeurs simples, /6, /4,   /3, etc jusqu'à 2 par exemple.

Et puis tu peux regarder là ou sur mathcurve

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires 04-12-21 à 07:25

La courbure \gamma = \dfrac{d\alpha}{ds} avec \alpha = \theta +V \forall \theta \in ]0 ; 2\pi[ où V est l'angle entre OM et \vec T le vecteur tangent au point M.

Le vecteur unitaire tangent \vec{t}=\dfrac{(\rho' ; \rho)}{\sqrt{(\rho')²+\rho²}}=\left(\dfrac{\sqrt{\theta²+1}}{\theta²+1} ; \dfrac{\theta \sqrt{\theta²+1}}{\theta²+1} \right)

\tan V = \dfrac{\sin V}{\cos V}=\dfrac{1}{\theta} \Rightarrow V= \tan^{-1}(V) = \theta

Donc \alpha = 2\theta

\gamma = \dfrac{d\alpha}{ds}*\dfrac{ds}{d\theta}=\dfrac{d \alpha}{d\theta}=2

\gamma =2

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires 04-12-21 à 08:24

\tan V = \dfrac{\sin V}{\cos V}=\dfrac{1}{\theta} , oui,  mais cela implique que

V=arctan\dfrac{1}{\theta}

et non ce que tu dis.

Ce fil devient beaucoup trop long. On termine cette courbe, mais pour la suite, ne faudrait-il pas en ouvrir un autre ?

Si un modérateur passe par là ...

Posté par
malou Webmaster
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 08:46

Bonjour à tous les deux
j'ai séparé, ce sera plus agréable
matheux14, à chaque nouvel exemple, merci d'ouvrir un nouveau sujet

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 09:02

Bonjour malou , et merci

@matheux14  En ce qui concerne l'angle V, on peut retenir la formule

\tan V=\dfrac{\rho}{\rho'}

qui a le mérite d'être très simple.

Il existe une formule qui donne la courbure, mais elle assez affreuse, de telle sorte qu'il vaut mieux passer par

C=\alpha'_s=(\theta+V)'_s

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 09:26

Ah oui, j'ai confondu ''inverse'' et ''réciproque''.

Citation :
Il existe une formule qui donne la courbure, mais elle assez affreuse


C'est quoi cette formule ?

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 09:52

Tu peux la retrouver tout seul en partant de

\alpha = \theta + \arctan(r/r') que tu dérives par rapport à s, abscisse curviligne.

Fait le calcul, mais à mon avis, inutile de retenir cette formule, par contre celle qui donne \tan V, oui.

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 09:54

Ok, \tan V=\dfrac{\rho}{\rho'}=\theta

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 09:57

Mais non, \tan V n'est pas égal à \theta !!!

\tan V=\dfrac{\rho}{\rho'}, point barre !

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 10:00

\rho = 3\theta donc \rho' = \dfrac{d\rho}{d \theta} non ?

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 10:06

Ah, pardon, j'avais perdu le fil, on était sorti des généralités et revenus à la courbe

\rho=3\theta.

Alors dans ce cas, oui , on l'avait déjà écrit V= \arctan \theta

Excuses.

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 10:27

Ne vous excusez pas

\alpha =\theta + \arctan(\theta)

\gamma = \dfrac{d \alpha}{ds}=\dfrac{d \alpha}{d \theta}*\dfrac{d\theta}{ds}=\left(1+\dfrac{1}{\theta²+1} \right)*\dfrac{1}{3\sqrt{\theta²+1}}=\dfrac{\theta²+2}{3\sqrt{(\theta²+1)^3}}

Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 10:28

C'est le bon résultat.

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 10:33

Ok, merci

Pour la question 3) j'ouvre un nouveau topic ?

Posté par
matheux14
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 11:46
Posté par
larrech
re : Longueur de courbes polaires (suite) 04-12-21 à 14:59

Ne pas tenir compte de mon post du 04/11 à 8h24, pas bien réveillé sans doute.



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