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Longueurs et aires

Posté par magna (invité) 03-11-04 à 00:43

Salut
a)Dessinez le graphe de l'hypocycloide :
x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)
ou a est strictement superieur a 0. Trouver la longueur totale de la courbe.
b)Soit l'ellipse :
(x^2)/4+y^2=1
On crée la rotation de cette ellipse autour de l'axe des abscisses pour former une surface appelée ellipsoide. Trouver l'aire de la surface générée.

Merci bcp!

Posté par re : Longueurs et aires 03-11-04 à 12:02

a)

Je suppose qu'il faut trouver la longueur de l'arc pour x dans [0 ; a]

x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)
y = (a^(2/3) - x^(2/3))^(3/2)

y' = (3/2).(a^(2/3) - x^(2/3))^(1/2) . (-2/3)x.(-1/3)$
y ' = -[(a^(2/3) - x^(2/3))^(1/2)]/(x^(1/3))

$L = \int_0^a \sqrt{1+y'^2}\ dx$

$L = \int_0^a \sqrt{1+\frac{(a^{2/3} - x^{2/3})}{x^{2/3}}}\ dx$

$L = \int_0^a \sqrt{\frac{(x^{2/3} + a^{2/3} - x^{2/3})}{x^{2/3}}}\ dx$

$L = \int_0^a \sqrt{\frac{a^{2/3}}{x^{2/3}}}\ dx$

$L = a^{1/3}\int_0^a \frac{dx}{x^{1/3}}$

$L = a^{1/3}[\frac{3}{2}.x^{2/3}]_0^a$

$L = a^{1/3}[\frac{3}{2}.a^{2/3}]$

$L = \frac{3}{2}.a$
-----

Sauf distraction.

Posté par re : Longueurs et aires 03-11-04 à 12:11

b)
$V = Pi.\int _{-2}^2 y^2\ dx$
$V = Pi.\int _{-2}^2 (1-\frac{x^2}{4})\ dx$
$V = Pi.[x - \frac{x^3}{12}]_{-2}^2$
$V = 2Pi.[2 - \frac{2^3}{12}]$
$V = \frac{8Pi}{3}$
-----
Sauf distraction.

Posté par re : Longueurs et aires 03-11-04 à 12:16

Zut j'ai cherché le volume au lieu de l'aire dans le second.

Fais-le toi-même.

Avec $Aire = 2Pi.\int_{-2}^2 y\sqrt{1+y'^2} dx$

...

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