Bonjour .

Il me semble qu'il y a une conjecture disant qu'on peut toujours trouver un carré .

Imod

Bonjour
je dis comme Imod. Ce n'est pas démontré pour le carré mais probablement vrai. Je pense qu'on peut dire pareille  pour le losange.

Il y a quand même moins de contrainte pour le losange

Imod

Cette fois pas d'accord. Je dirais au moins autant de contraintes.

Bonsoir derny.
Si on peut montrer qu'il y a un carré alors on a montré qu'il y a un losange, car un carré est un losange.
Si on peut montrer qu'il y a un losange, on ne peut pas en déduire qu'il y a un carré.

Il y a donc moins de contrainte pour le losange que pour le carré et Imod a raison.

Bonjour
Oui, j'ai parlé trop vite. Je pensais à un losange donné (angles donnés).

Oui, effectivement, la présence du carré est une conjecture, mais la présence d'un losange est beaucoup plus abordable. J'attends encore un peu et je donnerai un indice.

Je ne sais pas si c'est bon mais je tente

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Soit un rayon r.
On prend un point A sur une partie convexe de la courbe. On défini les points B et C comme deux intersections du cercle de rayon r et de la courbe.
On place D pour former un losange.

Pour r suffisamment petit, D sera dans la courbe. En effet, à la limite pour r tendant vers 0, D tend vers A or puisque la courbe est convexe en A, AD est au moins en partie dans courbe.

Pour r suffisamment grand, D sera hors de la courbe. En effet, quand r est égal à la distance entre A et le point le plus éloigné qui soit à la fois sur la courbe et sur la normale en A, B et C sont sur ce point et D ce trouve au delà du point le plus éloigné de la courbe et donc hors de la courbe.

Comme on peut faire varier r de manière continue, il existe une valeur de r pour la quelle D est sur la courbe. Et ABCD est un losange avec ses 4 sommets sur la courbe.

LittleFox Il y a de l'idée, mais tel quel, ça ne marche pas...

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r peut varier continument, mais en est-il de même pour B et C? Il se peut que la courbe rebrousse chemin, et une des intersections va se retrouver bloquée. Je n'ai pas le temps de faire un dessin, j'espère que tu vois l'idée, par exemple, une forme d'ancre, A au sommet de l'ancre. Quand le rayon va augmenter, les intersections vont arriver dans les parties concaves de l'ancre et seront coincées...  

Je pourrais arguer que pour chaque r on peut trouver un B et un . Mais effectivement si on a pas la continuité sur B et C alors on ne l'a pas sur D. Or ma preuve nécessite cette continuité. To be continued

Non, pour certains r, tu peux trouver plusieurs points d'intersection...

C'est pas un problème d'en avoir plusieurs, il m'en faut juste 2 tels que BC est du côté de l'intérieur de la courbe en A.

Le problème des réponses un peu vagues c'est qu'on inverse le sens de la preuve : j'ai faux , tu peux le montrer ? Et il faut trouver un contre-exemple ( ce n'est pas toujours facile ) et parfois ça peut durer car à chaque réponse on a une  nouvelle proposition qu'il faut à nouveau réfuter ( je parle d'expérience ) .

Je dis ça mis je n'ai pas réfléchi sérieusement au problème

Imod

La proposition de Littlefox était pas mal, ça marche même plutôt mieux que ma méthode, même si la suite de la  preuve est similaire à  la mienne. En attendant, un indice:

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un peu d'alpinisme pourra aider

J'ai regardé plus en détail la proposition de LittleFox , c'est vrai que c'est vraiment convainquant

Je me suis personnellement cogné à ce type de problèmes pendant des années ( pré-internet ) avant de découvrir qu'ils étaient extrêmement complexes ( voir les théorèmes de Jordan et Brouwer ) .

@Weierstrass : Tu as une démonstration "propre" de la chose ?

Imod

PS : Un des problèmes qui a empoisonné ma jeunesse : les deux courbes s'intersectent .



PPS : Tu as une démonstration complète de ton résultat ?

PPPS : Et si on met un rectangle en lieu et place du losange ?  

Oui, j'ai une démonstration propre du problème, qui est accessible modulo mon indice. Pour un rectangle, ça a été prouvé aussi, et il y a une super vidéo de 3b1b sur ça qui utilise la topologie. Ici, pas besoin de gros résultats de topologie, du raisonnement un peu comme celui qu'a donne littlefox suffit, même s'il faut aller un peu plus loin... Je ne sais pas si on peut démontrer le rectangle de la même manière ( j'ai même pas regardé, si ça se trouve, c'est quasiment pareil)

Eh bien, c'est timide...
Voila un peu plus de précision sur mon précédent indice, sans révéler toute la démo:

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reprendre la démo de Littlefox, mais sauf que r n'est pas obligé de tout le temps augmenter

Vraiment dommage que personne n'arrive à conclure, car il ne reste vraiment rien à faire.
Une dernière indication, mais j'ai l'impression de déjà donner la preuve

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Associer à chaque point de la courbe sa distance au point A

Par le problème des alpinistes on peut toujours s'arranger pour que B et C soient à la même distance de A tout en les faisant bouger du point A jusqu'au point où B et C sont confondu au point le plus éloigné de A.
Si A est sur une partie convexe de la courbe alors D est d'abord dans la courbe et à la fin il est en dehors.
Comme tout se passe de manière continue, il y a un moment où D est sur la courbe. À ce moment ABDC forme un losange.

Dans le cas où A est sur une partie concave, D est d'abord hors de la courbe et il va d'abord rentrer dans la courbe avant d'en ressortir mais c'est plus dur à prouver

Exactement!
Ma méthode consistait à montrer que pour un angle donné, on pouvait déplacer sur la courbe un segment avec cet angle de manière continue.
En rapprochant ces segments l'un de l'autre en partant des deux extrémités (les segments sont donc parallèles) de manière à ce qu'ils gardent la même taille, il finissent par former un losange.
Par contre, il fallait utiliser deux fois le principe de l'alpinisme, donc bravo à toi pour cette approche plus simple.
Pour la partie concave, il reste encore une idée à trouver, mais ce n'est pas si dur...

J'arrive sans doute après la bagarre mais mes journées sont longues et je n'arrive pas à me concentrer sur grand chose après le travail

Il me semble que le problème des deux alpinistes peut se généraliser de la façon suivante  : pour un lacet  donné et une direction donnée , deux alpinistes partant d'un point extrême pour cette direction peuvent parcourir le lacet sans traverser le point de départ et en restant à la même altitude ( par rapport à la direction donnée ) .

Dans ces conditions la médiatrice du segment dont les extrémités sont les positions des deux alpinistes ( quand ils ne sont pas au même endroit ) va couper le lacet en deux points ( au moins ) . C'est  pénible à expliciter mais les distances des deux points au segment évoluent continûment en passant de 0 d'un côté à 0 de l'autre : il y aura  forcément une rencontre .

Il reste le cas du rectangle

Imod

Pour le rectangle c'est presque plus simple

On part d'un point limite pour une direction donnée et on déplace les deux alpinistes ( toujours à hauteur constante ) . La distance entre les deux alpinistes va varier continûment de 0 à 0 , elle va forcément prendre deux fois la même valeur . Le couple des  alpinistes ne repasse jamais par la même position : c'est fini .

Imod

Je me suis emballé un peu vite , on obtient simplement un parallélogramme

A revoir

Imod