Bonjour,

Je suis en terminale S et j'ai un devoir maison à rendre en spécialité la semaine prochaine.

J'ai déjà fait toute une partie mais arrive celle de la résolution matricielle, j'ai quelques lacunes...

c) Soit le systeme:  (S' ') :
Un +1 = Un − 2Vn
                                      Vn+1 =  0,001Un +Vn
On pose Xn = Un
                    Vn    (le tout entre parenthèses pour former une matrice 2*1)
  
question 1: Ecrire une relation de récurrence vérifiée par (Xn ), utilisant une matrice A, à préciser.
J'ai écrit que Xn+1= A * Xn avec A=   1               -2
                                                     0,001          1       (matrice carrée)

Je ne sais pas si c'est ça!

En déduire le terme général de (Xn), en fonction de A et de X0.
Ici j'ai écrit que Xn= A^n * X0  (qu'on pourrait démontrer par récurrence)

En déduire le terme général de Y = sn en fonction de A et de Y0
Alors ici j'ai écrit que Yn= Sn  = Un  + 1000
                                      Rn     Vn        25        (ici voyez trois matrices de taille 2*1)
Mais je ne sais pas comment faire intervenir Y0!!

d) On choisit  S0 =1010 et r0 =26.
A l'aide de la question c) et de la calculatrice, donner l'état des populations de proies et de prédateurs au bout d'un an (on considère toujours le système simplifié (S'')
Je n'y suis pas arrivé...

e) A l'aide de la calculatrice, que penser de la convergence de An, quand n tend vers +∞ ? (n ∈ N).
Que penser alors de la convergence des suites (rn) et (sn) ?
Que penser enfin de la stabilité du modèle proies-prédateurs (quand on part d'une situation proche de l'état d'équilibre mis en évidence en question 3e) ?

Et là je ne sais vraiment pas répondre.


Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider.