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((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi]

Posté par
sgu35 22-05-20 à 11:55

Bonjour,
j'ai besoin d'aide sur un problème :
On cherche le lieu des points M tels que l'angle orienté de droites ((MA),(MB)) a pour mesure \theta, où \theta \in [0,\pi].
Pour \theta \ne \pi/2, on va traiter le cas général par le calcul en utilisant les complexes. Notons a, b, z les affixes respectives de A, B, M, où M désigne un point quelconque distinct de A et B.
M \in \Gamma_\theta \Leftrightarrow  \dfrac{z-a}{\overline{z}-\overline{a}}=\dfrac{z-b}{\overline{z}-\overline{b}}e^{2i\theta}
Moi je trouve au contraire que :
M \in \Gamma_\theta \Leftrightarrow  \dfrac{z-b}{\overline{z}-\overline{b}}=\dfrac{z-a}{\overline{z}-\overline{a}}e^{2i\theta}

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 12:07

Bonjour,

  Et tu as raison.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 14:16

D'après le livre, on trouverait :
M \in \Gamma_\theta \Leftrightarrow z\overline{z}-\overline{\omega} z-\omega \overline{z}+\gamma=0
avec \omega=\dfrac{be^{i\theta}-ae^{-i\theta}}{2isin(\theta)}
et \gamma=-\dfrac{e^{i\theta}b\overline{a}-e^{-i\theta}a\overline{b}}{2isin(\theta}}
Mais moi je trouve \gamma=+\dfrac{e^{i\theta}b\overline{a}-e^{-i\theta}a\overline{b}}{2isin(\theta}}
Ensuite il faudrait trouver |w|^2-\gamma=\dfrac{|b-a|^2}{4sin(\theta)^2}
mais je n'y arrive pas.

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 14:45

Étant donné qu'il y a une erreur dès le départ ici:

  

Citation :
Moi je trouve au contraire que :
M \in \Gamma_\theta \Leftrightarrow  \dfrac{z-b}{\overline{z}-\overline{b}}=\dfrac{z-a}{\overline{z}-\overline{a}}e^{2i\theta}


  on peut imaginer que la suite ne va pas..

Je n'ai pas fait les calculs.

Mais à partir de ceci:

Citation :
\omega=\dfrac{be^{i\theta}-ae^{-i\theta}}{2isin(\theta)}

   \gamma=-\dfrac{e^{i\theta}b\overline{a}-e^{-i\theta}a\overline{b}}{2isin(\theta}}


  on trouve bien  |w|^2-\gamma=\dfrac{|b-a|^2}{4sin(\theta)^2}

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 14:55

Comment procèdes-tu?

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 14:57

En utilisant la propriété :
Re(\lambda z)=\lambda Re(z)?

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:05

J'écris que |\omega|^2=\omega\,\overline{\omega}

  Je développe (avec un 4\,\sin^2\theta au dénominateur)

Puis calcul de |\omega|^2-\gamma avec réduction au même dénominateur et remplacement du 2i\sin\,\theta au numérateur par e^{i\theta}-e^{-i\theta}

On développe, réduit le numérateur pour obtenir:

   |\omega|^2-\gamma=\dfrac{b\bar{b}-a\bar{b}-b\bar{a}+a\bar{a}}{4\,\sin^2\theta}=\dfrac{(b-a)(\bar{b}-\bar{a})}{4\,\sin^2\theta}=\dfrac{|b-a|^2}{4\,\sin^2\theta}


  

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:19

Merci,
j'arrive au résultat voulu mais en prenant l'opposé de leur \gamma

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:34

De toute manière, l'erreur de départ consiste à changer \theta en -\theta

  Tu peux reprendre les formules du bouquin pour \omega et \gamma;  en effectuant ce changement tu dois tomber sur les tiennes.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:35

N'y aurait-il pas une autre méthode en remarquant que sin(2x)=2sin(x)cos(x)?

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:37

Je ne sais pas ce que tu veux faire, mais si tu as une idée, il faut la tester jusqu'au bout!

Messages croisés: n'oublie pas de regarder 15h34

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:45

J'arrive à
-2\Re(\overline{a} b e^{2i\theta})+2sin(\theta) {\Re(i \overline{a} b e^{i\theta})

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:48

-2\Re(\overline{a} b e^{2i\theta})-2sin(\theta) {\Im(\overline{a} b e^{i\theta})

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:48

Je ne sais toujours pas ce que tu fabriques:

  Sans 2 membres avec un signe "=", on ne peut pas comprendre.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 15:54

|\omega|^2-\gamma=-2\Re(\overline{a} b e^{2i\theta})-2sin(\theta) {\Im(\overline{a} b e^{i\theta})

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 16:04

Ah! Ça, c'est lisible.

Sans préjuger de ton égalité, elle comporte des parties réelles, des parties imaginaires, des lignes trigonométriques (le sinus) et des exponentielles complexes.

Pour parvenir au résultat:  \dfrac{|b-a|^2}{4\,\sin^2\theta}, il va bien falloir choisir ton camp à un moment ou à un autre: formules d'Euler, exponentielle, trigonométrie, j'en passe...

  Je pense que tu vas au devant de complications. Ça n'engage que moi: si tu es convaincu, il faut insister!
  

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 19:30

Bon, j'ai réussi à trouver le résultat par la méthode trigobométrique et par la formule d'Euler. Existe-t-il une autre méthode pour résoudre ce problème?

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 19:51

Graphiquement, on voit que les centres des cercles obtenus sont situé sur la médiatrice de [AB]. Comment montrer cela par le calcul?

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 20:51

Bon, c'était plutôt facile :
Comme A et B appartiennent au cercle, et que \Omega est le centre du cercle, alors \Omega A=\Omega B=R.
Donc \Omega appartient à la médiatrice de [AB].

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 21:22

J'espère que tu te rends compte qu'on navigue « à vue ».

Pas d'énoncé, pas de « problème ». Et ... pas de réponse.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 21:33

A et B sont les deux points introduits lors de la condition ((MA),(MB)) \equiv \theta \pmod \pi,
on a montré que \Gamma_\theta est un cercle de rayon R=\frac{AB}{2sin(\theta)} et de centre \Omega d'affixe \omega=\dfrac{be^{i\theta}-ae^{-i\theta}}{2isin(\theta)}

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 21:43

Pour l'instant, rien de neuf.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 21:52

A part ça, je dois élucider une propriété de cours :
Notons \Gamma_k' le lieu des points M pour lesquels une mesure de l'angle orienté de vecteurs (\vec{MA}, \vec{MB}) est égale à k, réel quelconque de [0,2\pi[.
Comment montrer alors qu'on a \Gamma_\theta'\subset \Gamma_\theta, et que \Gamma_\theta' est l'un des arcs de cercle d'extrémités A et B sur \Gamma_\theta.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 21:54

Comment montrer alors qu'on a \Gamma_\theta'\subset \Gamma_\theta, et que \Gamma_\theta' est l'un des arcs de cercle d'extrémités A et B sur \Gamma_\theta ?

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 21:58

Là, c'est à toi de décortiquer l'affaire:

  Un angle de vecteurs est déterminé  à 2\pi près.

  Un angle de droites est déterminé à \pi près.

Cela suffit pour prouver ton inclusion.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 22:37

Si  (\vec{MA}, \vec{MB})\equiv \theta \pmod {2\pi} , alors :
si \theta \in [0,\pi[,  ((MA),(MB)) \equiv \theta \pmod \pi
si \theta \in [\pi,2\pi[, ((MA),(MB)) \equiv 2\pi-\theta\pmod \pi
Est-ce correct?

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 23:05

Je ne pense pas que la réciproque soit vraie, mais je tente une solution :
Si  ((MA),(MB)) \equiv \theta \pmod \pi  
alors (\vec{MA}, \vec{MB})\equiv \theta \pmod {2\pi} ou 2\pi-\theta \pmod {2\pi}.
Mais comme on ne discute pas suivant la valeur de \theta, la réciproque est fausse.
Est-ce correct?

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 22-05-20 à 23:47

Personne?

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 11:28

Si on sait ce qu'est un angle de droite (as-tu une définition?), on a immédiatement:

  (\vec{MA},\vec{MB})=\theta\;\;[2\pi]\Longrightarrow (MA,MB)=\theta\;\;[\pi]

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 15:14

Soit \theta \in \R. On dit que \theta est une mesure de l'angle orienté de droites (D_1, D_2) ssi pour tout vecteur directeur \vec{u_1} de D_1 (respectivement, \vec{u_2} de D_2) on a : (\vec{u_1}, \vec{u_2}) \equiv \theta \pmod {\pi}. On note : (D_1,D_2) \equiv \theta \pmod {\pi}.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 15:20

Pourquoi la réciproque est-elle fausse?

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 15:36

Mais parce que:

(MA,MB)=\theta\;\;[\pi]\Longrightarrow \begin{cases}(\vec{MA},\vec{MB})=\theta\;\;[2\pi]\\\text{ ou}\\(\vec{MA},\vec{MB})=\theta +\pi\;\;[2\pi]\end{cases}

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 15:42

J'aurais d'ailleurs pu mettre une équivalence.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 16:22

Je poste une image où on voit que ((MA),(MB))=2\pi - (\vec{MA}\vec{MB})
Je me trompe peut-être, l'angle de droites ((MA),(MB)) est peut-être égal à ((MB),(MD))

((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi]

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 16:23

Je poste une image où on voit que ((MA),(MB))=2\pi - (\vec{MA},\vec{MB})
Je me trompe peut-être, l'angle de droites ((MA),(MB)) est peut-être égal à ((MB),(MD))

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 18:18

Je m'en doutais un petit peu; tu ne domines pas les angles de droites; ils sont orientés:

Sur ta figure: ((MB),(MD))={\red -}((MA),(MB))\;\;[\pi]

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 18:26

Est-ce que ((MB),(MD))=\pi-((MA),(MB))\;\;[\pi] ?

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 18:35

Bien sur puisqu'on travaille en angle de droites donc modulo \pi

tu pourrais aussi bien écrire:

    ((MB),(MD))=2\pi-((MA),(MB))\;\;[\pi]

    ((MB),(MD))=-\pi-((MA),(MB))\;\;[\pi]

     ((MB),(MD))=3\pi-((MA),(MB))\;\;[\pi]

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 19:05

((MA),(MB))=2\pi - (\vec{MA},\vec{MB})
Là j'ai tord
Il faut écrire :
((MA),(MB))=(\vec{MA},\vec{MB}) +2\pi

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 19:06

Mais est-ce qu'on peut comparer un angle de droites avec un angle de vecteurs? Et à modulo \pi ou modulo 2\pi?

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 19:11

Je te rappelle l'équivalence:

(MA,MB)=\theta\;\;[\pi]\Longleftrightarrow \begin{cases}(\vec{MA},\vec{MB})=\theta\;\;[2\pi]\\\text{ ou}\\(\vec{MA},\vec{MB})=\theta +\pi\;\;[2\pi]\end{cases}

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 19:17

Citation :
Mais est-ce qu'on peut comparer un angle de droites avec un angle de vecteurs? Et à modulo \pi ou modulo 2\pi?

C'est défini modulo 2\pi je pense.

Posté par
lakere : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 21:54

>>sgu35,

Sans aucune prétention de ma part, je pense que nos débats sur les angles orientés de droites n'ont déjà que trop duré.
Je pense aussi que tu ne domines pas le sujet et que tu devrais lire avec profit un cours sérieux (genre Lebossé et Hémery) sur la question.

Ce n'est que mon ressenti; tu en fais évidemment ce que tu veux...

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 22:06

Ouf j'ai enfin compris l'affaire, merci beaucoup.
Il me reste la propriété suivante à montrer :
\Gamma_\theta' est l'un des arcs de cercle d'extrémités A et B sur \Gamma_\theta.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 22:20

En d'autres termes, il faut montrer que la partie réelle de l'affixe de M (M dans \Gamma_\theta') est positive si \theta \in [0,\pi[ ou l'inverse.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 23-05-20 à 23:23

On trouve le résultat en faisant une figure : si M est sur l'arc gauche (AB) du cercle \Gamma_ \theta, on a \theta \in [\pi,2\pi[,
si M est sur l'arc droit (AB) du cercle \Gamma_ \theta, on a \theta \in [0,\pi[.

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 24-05-20 à 13:27

Des idées pour répondre à la question par le calcul?

Posté par
sgu35re : ((MA),(MB)=t, où t appartient à [0,pi] 24-05-20 à 20:42

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