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Niveau seconde
magie magie
Posté par m3di
Le magicien demande à un spectateur choisi au hasard de penser à un nombre
inférieur à 100 sans le révéler. Il lui demande ensuite de lui annoncer seulement les
restes des divisions de ce nombre par 3, par 5 et par 7. Après quelques instants de
réflexion, le magicien annonce au public le nombre auquel a pensé le spectateur. Quel
est le truc ?
Je ne sais pas si c'est la réponse attendue mais si a est le nombre cherché, on donnera au magicien les nombres r1(0
r1<3), r2(0 r2<5) et r3(0 r3<7), tels que :
a=3*k1 +r1 (1)
a=5*k2 +r2 (2)
a=7*k3 +r3 (3)
Multiplie (1) par 5*7, (2) par 3*7 et (3) par 3*5... et puis ... regarde...
Bonjour,
Une magie sans explication en seconde:
On retient les 3 nombres 70,21 et 15
Si les restes sont respectivement dans les divisions par
, on forme le nombre
et on lui retire autant de fois 105 qu' il est nécessaire pour obtenir un nombre inférieur à 100.
Bonjour,
Ok mais comment fait-il pour trouver le nombre penser par le spectateur rien qu'avec les reste des divisions de 3, 5 et 7?
Je ne sais pas de quels outils tu disposes mais tu peux montrer que si désigne le nombre cherché et
et
les restes respectifs par
et
:
Si je continue mon message de 13:50,
35a=115*k1+35r1
21a=115*k2+21r2
15a=115*k3+15r3
Donc si je pose K=k2+k3-k1
21r2+15r3-35r1=a+105*K
Il faut donc calculer 21r2+15r3-35r1et on a la résultat à un multiple de 105 près.
Exemple : a= 37 à deviner
r1=1,r2=2,r3=2.
21*2 + 15*2-35*1=42+30-35=37... CQFD!!!
J'ai essayer avec 13 dont les reste de 3,5 et 7 sont respectivement 1,3 et 6 et ça ne fonctionne pas! 
Citation :
Il faut donc calculer 21r2+15r3-35r1 et on a la résultat à un multiple de 105 près.
Il faut donc calculer 21r2+15r3-35r1 et on a la résultat à un multiple de 105 près.
On trouve 21r2+15r3-35r1=63+90-35=118
118 -105=13
En effet 118 n'est pas compris entre 0 et 100 donc ne peut être le nombre cherché..
Même chose pour a=70,
r1=1
r2=0
r3=0
21r2+15r3-35r1=-35 Qui n'est pas compris entre 0 et 100..
-35+105=70 .. qui est la solution.. On ajoute ou on retranche un multiple de 105 pour arriver à un résultat compris entre 0 et 100.
Merci maintenant que je sais faire peux tu m'expliquer comment tu en ai venu a trouver ce calcul s'il te plaît? 
Il faut multiplier chaque équation de manière à (3*5*7)=115 en facteur de k dans chaque équation .. puis j'ajoute et je retranche les équation pour avoir a seul
21a+15a-35a=1*a
Ok merci beaucoup parce que ça fait un mois que je suis sur ce problème et je n'y arrivais pas! Tu penses que c'est du programme de seconde?
J'en sais rien .. Je ne connais pas les programmes en détail.
Mais c'est un problème qui fait penser au théorème des restes chinois qui est enseigné en spé maths en terminales.
Bonjour,
une idée d'explication en rapport avec les "bijections" annoncées :
si on fait varier le nombre de départ dans 
tout entier (voire dans 
)
les restes de la division par 3 se répètent tous les 3 nombres
les restes de la division par 5 se répètent tous les 5 nombres
les restes de la division par 7 se répètent tous les 7 nombres
le triplet (r1, r2, r3) se répète donc tous les PPCM(3, 5, 7) = 3*5*7 = 105 nombres
et prend une "valeur" différente pour chacun des nombres de 0 à 104
c'est là qu'intervient la bijection entre la valeur d'un triplet (de l'ensemble des trois restes) et les nombres entiers entre 0 et 104
comme 104 > 99 il prend une valeur différente pour chacun des nombres de 0 à 99
ceci prouve que il est possible connaissant les restes (r1, r2, r3) de déterminer de façon unique le nombre n de départ entre 0 et 99
(et même de dire que le spectateur s'est trompé dans la division si on a un triplet impossible correspondant à un nombre entre 100 et 104 inclus)
pour le déterminer effectivement, on peut se reporter aux formules de lake ou de Nofutur2 comme ci-dessus
ou le faire "niveau collège"
le reste de la division par 5 détermine à 5 près le chiffre des unités (2 possibilités donc)
le reste par 3 détermine à 3 près la somme des chiffres (donc 3 possibilités pour le chiffre des dizaines)
ceci donne donc une demi douzaine de nombres candidats à tester pour le reste de la division par 7 (en faisant effectivement la division, ou en connaissant la table de 7 jusqu'à 7 fois 15)
exemple numérise : reste de 3,5 et 7 sont respectivement 1,3 et 6
le dernier chiffre est donc 3 ou 8 (reste par 5 = 3)
la somme des chiffres est 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 ...
ce qui avec le chiffre des unités = 3 ou 8 donne
13, 43, 73, 28, 58 ou 88
dont les restes de la division par 7 sont
6, ... (on s'arrête là puisque on sait que la solution est unique)