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magma

Posté par Profil amethyste 13-06-20 à 10:06

Bonjour et merci d'avance

Dans le lien wiki de quasigroupe ici

dans la dernière démonstration (cliquer sur démonstration dans le lien)

l'auteur de l'article démontre qu'un quasi groupe associatif est un groupe (ce que je ne conteste pas )

et commence sa démonstration en disant ceci:

"Pour qu'un magma soit un groupe, il suffit qu'il soit associatif, unifère à gauche, et que chacun de ses éléments soit symétrisable à gauche"

sauf que je ne vois pas comment il arrive a en déduire que ce magma soit un monoïde (i.e. un magma associatif unitaire)

tout ce que je peux en dire c'est que le magma est régulier à gauche mais pas qu'il possède un élément neutre

et par conséquent il ne risque pas d'être un groupe

pourriez vous me confirmer que l'auteur de la démonstration

bien qu'il ait raison de dire qu'un quasi groupe associatif soit un groupe

se trompe dans la prémisse de sa démonstration en affirmant

"Pour qu'un magma soit un groupe, il suffit qu'il soit associatif, unifère à gauche, et que chacun de ses éléments soit symétrisable à gauche"?

Posté par
Kernelpanicre : magma 13-06-20 à 10:31

Bonjour amethyste,

dans le cas des groupes, souvent on demande l'existence d'un symétrique à droite et à gauche, alors qu'il suffit d'affaiblir cette axiome par "tout élément possède un symétrique à droite (ou à gauche)" ; vois-tu pourquoi ?

Ici c'est à un peu près la même chose, le fait que ton magma soit unifère à gauche et que les éléments soient symétrisables à gauche entraîne l'existence d'un symétrique à droite (qui coïncide avec celui de gauche). Après, on peut montrer que le neutre à gauche est aussi un neutre à droite. La démo est pas compliqué, si tu as besoin d'aide tu peux demander !

Posté par
Kernelpanicre : magma 13-06-20 à 10:33

Je me demande si je ne suis pas allé trop vite dans ma réponse. Je vais écrire un truc et je reviens. Fais comme si je ne t'avais pas répondu pour l'instant

Posté par
Kernelpanicre : magma 13-06-20 à 10:42

Oui c'est bon, l'hypothèse d'associativité est essentielle et c'est l'argument (que j'avais oublié) qui m'a fait douter. Donc dans l'ordre :

- tu montres que tout élément admet un symétrique à droite qui coïncide avec son symétrique à gauche

- tu en déduis l'existence d'un neutre (donc neutre à gauche et à droite)

- tu conclus

Posté par Profil amethystere : magma 13-06-20 à 14:47

Merci Kernelpanic

oui c'est ok

par contraposition* j'ai la démo que M est régulier à gauche puis j'arrive ensuite à l'égalité

\forall x\in M , x e = e x en utilisant l'associativité et le fait que M est régulier à gauche  selon

\left(x^{\prime } x\right)\left(x^{\prime } x\right)=x^{\prime }\left(x e\right)

\left(x^{\prime } x\right)\left(x^{\prime } x\right)=x^{\prime }\left(e x\right)

*pour la contraposée
\forall a\in M\rightarrow \left(\forall x\in M,\forall y\in M , \left(a x = a y \rightarrow  x=y\right)\right)

la contraposée donnant quelque chose de plus facile à vérifier et qui est

\left(\exists x\in M, \exists y\in M,\left(ax =ay \land x\neq y\right)\right)\rightarrow \exists a \in M
en posant tout simplement x=a=e et y\neq e

Posté par
Kernelpanicre : magma 13-06-20 à 16:24

Je ne comprends pas vraiment ce que tu essayes de faire... tu tentes de répondre à mes indications, ou tu continues la démonstration de ton énoncé principal ?

Pour mes indications, il n'y a pas besoin de contraposée.

Posté par Profil amethystere : magma 13-06-20 à 16:28

eh bien il n'y a plus rien d'autre à faire vu que e est neutre et que tout élément possède un symétrique

c'est fini

Posté par Profil amethystere : magma 13-06-20 à 16:47

je terminais avec \forall x\in M , e x = x e

  il manque juste ça (et c'est fini) :

en notant x\mapsto x^{-1} l'application telle que x^{-1} x = e

on montre que \forall x\in M, x^{-1 } x =x x^{-1 }

\left(x  x^{-1 }\right) x =x \left( x^{-1 } x\right) =x e = e x = x

\left(x^{-1 } x \right) x = ex = x

et comme G est régulier à gauche on a bien l'égalité voulue

Posté par Profil amethystere : magma 13-06-20 à 17:47

une petite erreur dans mon post de 14:47

amethyste @ 13-06-2020 à 14:47



\left(x^{\prime } x\right)\left(x^{\prime } x\right)=x^{\prime }\left(x e\right)

\left(x^{\prime } x\right)\left(x^{\prime } x\right)=x^{\prime }\left(e x\right)



pour la deuxième équation il y a une erreur je corrige

\left(x^{\prime } x^{\prime } \right)\left(x  x\right)=x^{\prime }\left(\left(x^{\prime }  x\right) x\right) = x^{\prime } \left( e x\right) =x^{\prime } x = e

car e x = x

donc x^{\prime }\left(e x \right)= e

et la premiere équation donne
\left(x^{\prime } x\right)\left(x^{\prime } x\right)=x^{\prime }\left(x \left(x^{\prime } x\right) \right)=x^{\prime }\left( x e \right) =\left(x^{\prime } x\right) e= e e = e

donc x^{\prime }\left( x e \right)= e

donc x^{\prime }\left(x e\right) =x^{\prime }\left(e x \right)= e  

Posté par Profil amethystere : magma 14-06-20 à 06:43

encore une erreur au post de 16:47 hier

en le refaisant au propre j'ai vu la bêtise

amethyste @ 13-06-2020 à 16:47



\left(x  x^{-1 }\right) x =x \left( x^{-1 } x\right) =x e = e x = x

\left(x^{-1 } x \right) x = ex = x

et comme G est régulier à gauche on a bien l'égalité voulue



bah non là la justification n'est valable que si G est régulier à droite

je corrige

x^{-1} \left(x x^{-1}\right) =\left(x^{-1} x\right) x^{-1} = e x^{-1} = x^{-1}

x^{-1} \left( x^{-1} x\right) =x^{-1} e = e x^{-1} = x^{-1}

x^{-1} e = e x^{-1} car précédemment on a montré que e est  un élément neutre

donc  x^{-1} \left(x x^{-1}\right) =x^{-1} \left( x^{-1} x\right)

et comme G est régulier à gauche alors    x x^{-1}  = x^{-1} x

Posté par
Kernelpanicre : magma 14-06-20 à 09:10

Tu te compliques la vie à mon humble avis. Comme tu as pas mal réfléchi, je te propose ma solution.

On suppose que l'on dispose d'un magma unifère à gauche (où l'on note e_g le neutre à gauche), associatif et dans lequel tout élément admet un symétrique à gauche.

- On montre que e_g est aussi un neutre à droite, et que tout élément admet un symétrique à droite qui coïncide avec le symétrique à gauche.

Soit x un élément de l'ensemble associé au magma. Il existe alors x^{-1} dans ce même ensemble tel que :

x^{-1}x = e_g (1)

Par hypothèse, on peut trouver y tel que :

yx^{-1} = e_g

Il suit que :

(yx^{-1})x = e_gx = x

Par associativité, on obtient l'égalité :

x = (yx^{-1})x = ye_g

En multipliant à droite par x^{-1} et en utilisant une nouvelle fois l'hypothèse d'associativité, on arrive à la relation :

xx^{-1} = yx^{-1} = e_g (2)

étant donné que y est le symétrique à gauche de x^{-1}.  Finalement, en utilisant (1), il vient que :

xx^{-1} = x^{-1}x = e_g

Dans ce cas, il est immédiat par associativité que :

x = e_gx = (xx^{-1})x = x(x^{-1}x) = xe_g (3)

Par l'arbitraire sur x, on en déduit que (2) et (3) sont vraies pour tout élément de l'ensemble associé à ce magma. On conclut alors à l'existence d'un neutre qui n'est rien d'autre que e_g par (3), puis à l'existence d'un symétrique à droite pour tout élément dans l'ensemble associé au magma par (2).

Posté par Profil amethystere : magma 14-06-20 à 09:40

Merci Kernelpanic

c'est effectivement plus court

Ceci dit je suis obligé de placer ma solution dans mon cahier
En re écrivant au propre et en détaillant tout
ma démo fait une trentaine de lignes bref une page A4

De toute façon je n'avais pas le choix que de trouver une solution  

Après je suis maniaque je détaille tout alors qu'un mathématicien dira "on déduit que"

Là où je vais je ne pourrais rien déduire de rien et je ne reconnaitrait que ce que j'ai pensé :
À chaque fois c'est la même chose on repart de zéro en maths car on n'est pas sensé s'y intéresser et comme d'habitude je me retrouve hors système à gagner ma vie à travailler sur une ombre (sens alchimique de l'ombre) et à essayer de travailler mes maths  pour repartir à nouveau vers une nouveau monde d'ombres    (et ainsi de suite à l'infini de l'éternité du futur et ce depuis l'éternité du passé)


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