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Majoration de (1+a/n)^n

Posté par
SwagVeranda 24-10-19 à 18:48

Bonsoir, j'aimerais majorer cette suite : (1+\frac{a}{n})^n, où a est un réel, autrement qu'en utilisant les fonctions exponentielles et logarithmiques.

Pour l'instant j'ai juste montré cela :

(1+\frac{a}{n})^n\leq\displaystyle\sum_{k= 0}^{n }a^k/2^{k-1}=a\displaystyle\sum_{k= 0}^{n }(\frac{a}{2})^{k-1}

Je me retrouve donc avec une suite géométrique mais je ne sais pas quoi faire de plus :/ (car cette série diverge si a>2).

En cherchant un peu, j'ai vu qu'on pouvait majorer cette suite par \frac{2+a}{2-a} mais je ne vois pas comment.

Merci de m'aider.

Posté par
Prototipe19re : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:01

Bonsoir , pour k=0 ta  quel terme ?

Posté par
Prototipe19re : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:02

Je ne suis pas d'accord avec ton égalité à mon avis ça manque un peu de rigueur

Posté par
SwagVerandare : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:19

C'est pas impossible que ce soit faux, en fait oui c'est pas très rigoureux, j'ai trouvé une version plus rigoureuse :

(1+\frac{a}{n})^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\mathbf{C}_{n}^{k}\frac{a^k}{n^k}

or chaque \displaystyle\frac{\mathbf{C}_{n}^{k}}{n^k} est majoré par 1/k! et pour k\geq 2, on a 1/k!\leq 1/2^k ce qui nous donne finalement :

(1+\frac{a}{n})^n\leq 1 + a + a^2/2 + a^3/2^2 + ... + a^n/2^{n-1}.

Ce après quoi, ils concluent quasi immédiatement à la majoration par \displaystyle\frac{2+a}{2-a} mais je ne vois pas comment.

Posté par
Prototipe19re : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:21

Ok c'est cette voie que j'allais te suggérer,  cet exo je l'ai déjà fait

Posté par
SwagVerandare : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:29

Prototipe19 @ 24-10-2019 à 19:21

Ok c'est cette voie que j'allais te suggérer,  cet exo je l'ai déjà fait


Dans quel contexte ? Pour ma part c'est juste un lemme pour définir l'exponentielle complexe, et je me casse la tête dessus depuis trop longtemps ...

Du coup une idée pour la majoration ?

Posté par
Prototipe19re : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:44

Du coup le mieux c'est de bien écrire cette formule du binôme.


Essaies de la développer

Posté par
Prototipe19re : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:45

Développe

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\mathbf{C}_{n}^{k}\frac{a^k}{n^k}=....

Posté par
Prototipe19re : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:46

Jusqu'au rend (n-k)..

Posté par
carpediemre : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 19:48

SwagVeranda @ 24-10-2019 à 19:19


(1+\frac{a}{n})^n\leq 1 + a + a^2/2 + a^3/2^2 + ... + a^n/2^{n-1}.

Ce après quoi, ils concluent quasi immédiatement à la majoration par \displaystyle\frac{2+a}{2-a} mais je ne vois pas comment.
somme des termes d'une suite géométrique ... ou presque ...

Posté par
SwagVerandare : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 20:03

carpediem @ 24-10-2019 à 19:48

somme des termes d'une suite géométrique ... ou presque ...


J'ai du mal à comprendre car quand a vaut par exemple 3, on se retrouve avec une majoration par -5 ce qui est pour le moins bizarre lorsque notre suite est à termes positifs.

Sinon Prototipe19, avec la formule in extenso ça a un intérêt de parler de symétrie des coefficients binomiaux ? (Je parle bien de la majoration par (a+2)/(a-2) et non la précédente qui dépend de n et que je pense comprendre.)

Posté par
carpediemre : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 20:41

il faut se mettre au travail ...

1 + a + \dfrac {a^2} 2 + \dfrac {a^3} {2^2} + ... + \dfrac {a^n} {2^{n - 1}} = 2 \sum_0^n \left( \dfrac a 2 \right)^k - 1 = \dfrac {1 - \left(\dfrac a 2 \right)^{n + 1} } {1 - \dfrac a 2} - 1 \le \dfrac 1 {1 - \dfrac a 2} - 1 = ...

Posté par
SwagVerandare : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 21:06

Je crois qu'avec un a plus grand que 2 votre inégalité n'est plus valable.

Posté par
Prototipe19re : Majoration de (1+a/n)^n 24-10-19 à 21:51

Je suis tout aussi d'accord avec toi SwagVeranda il faut prendre

k\geq 2 c'est à dire k!\geq 2^k


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