Niveau Prepa (autre)

Majoration de probas

Posté par
lamouchaa 13-02-22 à 11:13

Bonjour à tous,
Voici l'énoncé de l'exercice :
Soit $p$ tel que $0< p <1/2$ . On suppose que $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^*$ est une suite de variables aléatoires indépendantes valant   $1$ ou   $-1$ avec probabilité respectivement   $p$ et   $1-p$ . On pose pour  tout   $n \in \mathnn{N}^*$ :

$S_n = \sum_{k=1}^n X_n$

$Q.5.1$   Calculer l'espérance et la variance de $Sn$

$Q.5.2$   Montrer qu'il existe   $t_0>0$ tel que   $\mathbb{E}(e^{t_0X}) < 1$

$Q.5.3$ En déduire l'existence des nombres réels α et β tels que 0 < α,β < 1 et   $\forall n \in \mathbb{N}^* , \forall k \in \mathbb{Z}    ,     \mathbb{P}(S_n \geq k) \leq \alpha^k \beta^n$

J'ai fait les questions 1 et 2, c'est pour la trois que j'ai du mal.

Pour   $k<0$ la propriété est évidente, j'ai alors pensé que je pouvais me servir de la décroissance des   $\mathbb{P}(S_n \geq k) ,  k \in \mathbb{R}_+$ mais je ne vois pas comment cela fait intervenir la question 2.

Faut-il alors se servir de l'espérance et en particulier de $\mathbb{E}(S_n)=\mathbb{E}(nX)$ ?

Merci par avance de votre aide.

Posté par re : Majoration de probas 13-02-22 à 11:42

Bonjour,

Qui est $X$ ?

Posté par re : Majoration de probas 13-02-22 à 11:49

L'énoncé est flou à ce sujet, j'ai alors supposé que $X$ est la variable aléatoire qui prend ses valeurs dans $\{-1,1\}$ et dont $P(X=-1) = 1-p$ et $P(X=1) = p$ .

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