Niveau Maths sup

Majoration somme des racines carrées des n premiers entiers

Posté par prisonnierde 09-07-24 à 20:21

Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice :
$Montrer \; que \; \forall n \in \mathbb{N}^*, \sqrt{1} + ... + \sqrt{n} \leq \frac{4n+3}{6}\sqrt{n}$

Je suis parti de cette idée :

$\sqrt{1} + ... + \sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{\frac{1}{n}} + ... + 1)$ puis pour tout $k \in [|1; n|], \sqrt{\frac{k}{n}} \leq \frac{n+k}{2n}$ par inégalité arithmético-géométrique si bien qu'en sommant toutes ces inégalités, on obtient pour majoration $\sqrt{n} (\frac{n}{2} + \frac{n+1}{4})$ , ce qui n'est pas exactement le résultat voulu.
Quelqu'un pourrait-il me donner une piste pour avancer sur l'exercice ? Merci d'avance

Posté par re : Majoration somme des racines carrées des n premiers entier 09-07-24 à 20:52

Bonjour,

as-tu essayé de diviser le membre de gauche par $n\sqrt{n}$ et d'étudier la limite ?
Ca te donnera une inégalité un poil meilleure que celle qui est proposée par l'énoncé

Sinon, tu peux sans doute t'en tirer en majorant la somme par une somme d'intégrales

Posté par re : Majoration somme des racines carrées des n premiers entier 10-07-24 à 09:46

Bonjour,
Merci pour votre réponse ! J'ai oublié de préciser qu'il faut réussir l'exercice sans passer par des outils d'analyses type limites, intégrales..., seulement en utilisant des inégalités "simples" (il s'agit d'un exercice de début d'année de sup). Néanmoins, en majorant par une somme d'intégrales j'obtiens pour majoration $\frac{2}{3} (n+1)^{\frac{3}{2}}$ , ce qui ne correspond toujours pas au résultat souhaité.
Il y avait une indication en dessous de l'énoncé (que je n'avais pas remarqué ) qui conseille de raisonner par récurrence, mais je bloque totalement sur l'hérédité...

Posté par re : Majoration somme des racines carrées des n premiers entier 10-07-24 à 10:44

salut

j'ai failli intervenir hier et te proposer une récurrence et tiens il y a une indication qui en parle !!

$\sum_1^{n + 1} \sqrt k \le \dfrac {4n + 3}6 \sqrt n + \sqrt {n + 1}$

or $\frac {4(n + 1) + 3} 6 \sqrt {n + 1} - \left( \dfrac {4n + 3}6 \sqrt n + \sqrt {n + 1} \right) = ...$

en ne gardant que le numérateur après soustraction il reste : $(4n + 1) \sqrt {n + 1} - (4n + 3) \sqrt n$

puis passage par la quantité conjuguée ...

Posté par re : Majoration somme des racines carrées des n premiers entier 10-07-24 à 11:08

... on obtient $\frac{1}{(4n+1)\sqrt{n+1} + (4n+3)\sqrt{n}}$ , qui est positif d'où l'inégalité ! Merci beaucoup, c'était en effet pas si compliqué que ça ^^

Posté par re : Majoration somme des racines carrées des n premiers entier 10-07-24 à 13:11

je te fais confiance pour ce résultat ...

de rien

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