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C'est assez compliqué à expliquer, ça fait appel au théorème de Perron-Frobenius, qui lui-même parle de valeur propre, je pense que cette notion ne t'est pas familière
En gros, on peut montrer qu'une matrice dont les coefficients sont strictement positifs va avoir une "direction privilégiée".
Je résume : une matrice colonne, ça ressemble à un vecteur, c'est pas pour rien, les deux s'identifient très bien.
Donc on peut considérer que faire le produit d'une matrice carrée et d'une matrice colonne, c'est comme appliquer une fonction à un vecteur. Or le théorème de Perron-Frobenius garantit que si la matrice a des coefficients strictement positifs, tu vas pouvoir trouver un vecteur dont l'image est plus grosse (c'est-à-dire de norme plus grande) que celle de tous les autres, et surtout, ce vecteur et son image sont colinéaires. (On dit que c'est un vecteur propre). Du coup, l'image de l'image de ce vecteur va avoir les mêmes propriétés...
En itérant la fonction, c'est-à-dire en considérant les puissances successives de ta matrice, ce vecteur va donc avoir une image qui devient de plus en plus grosse par rapport aux autres.
Autrement dit, il va y avoir un état dont la probabilité est de plus en plus forte par rapport à celle des autres états, un peu comme si cet état était une cuvette de plus en plus profonde, qui attire de plus en plus une bille qui passerait à proximité.
Inévitablement, on va alors tendre vers cet état, et ce quel que soit l'endroit d'où on part.

Voilà c'est les trèèèèèèès grandes lignes, mais je ne pense pas pouvoir faire beaucoup mieux, c'est franchement hors-programme

N.

Merci de ta réponse, bien vulgarisée (rien de péjoratif dans ce que je dis).

J'ai compris les grandes lignes, c'est très fort ! De toute façon je verrai tout ça en sup ou en spé j'imagine.

Merci encore !

De rien, si ça t'éclaire un peu c'est toujours ça !

La correspondance entre matrices et application linéaires en sup, tout ce qui est valeurs et vecteurs propres (et plein d'autres joyeusetés regroupées sous le nom de "réduction"), c'est pour la spé...

Par contre le théorème de Perron-Frobenius, c'est hors-programme. Personnellement je le connais grâce à une ADS (autre joyeuseté de prépa) sur le sujet, mais il est assez mastoc quand même.

Il faudra peut-être attendre de faire ta thèse en mathématiques pour résoudre complètement ce problème

N.