Citation :
Dans le cas présent, je ne suis fait largement doubler par Nombrilist qui par chance ne s'est pas vexé dès le début.
De quoi se serait-il vexé ?
Parce que je n'ai pas compris de suite sa première explication et que je le lui ai dit ?
Nombrilist et moi nous sommes croisés à de multiples reprises et nous avons suffisamment de confiance et d'estime réciproque pour qu'il n'y ait pas ce genre d'ambigüité entre nous. Et puis dès que j'ai compris ce qu'il faisait, je lui ai dit immédiatement le bien que je pensais de son modèle...
Citation :
Dans le cas où ce calcul devrait être fait avec une précision donnée, en utilisant la méthode de Monte-Carlo, il est vrai que fixer le nombre d'itération à une valeur arbitraire (1000 dans mon cas) n'est pas très rigoureux.
En effet ce n'est pas rigoureux.
Pour de faibles valeur de N, E(T) reste très raisonnable, donc la convergence de Monte-Carlo "se voit".
Mais pour des valeurs de N importantes, les choses se compliquent sérieusement.
En fait, tu ne peux pas savoir à chaque simulation, s'il n'y en a pas une qui va prendre un temps gigantesque.
Et si cela ne se produit pas, tu ne peux pas savoir non plus si la fréquence empirique fournie par Monte Carlo n'est pas totalement biaisée du fait de l'absence d'occurrences de simulation très rares... mais très longues, donc pesant fortement sur l'espérance. Dans le cas du problème posé, on sent "intuitivement" ce qui se passe, et on s'attend à une structure "régulière"... qui te donne plutôt raison. Mais attention, ça peut être un piège, et pour d'autres variantes d'énoncés tu pourrais être fortement induit en erreur.
Peut-être connais-tu le paradoxe de Saint-Pétersbourg ?
Ce jeu a une espérance mathématique infinie... et pourtant c'est un jeu de dupe auquel il ne faut pas jouer "à n'importe quel prix".
En effet, le caractère illimité de son espérance est du aux sommes hyper astronomiques que les mathématiques promettent au joueur... mais avec des probabilités infimes.
Un peu comme si on te promettait plus de milliards d'Euros qu'il n'y a d'atomes dans tout l'univers... avec une probabilité d'une chance sur un milliard de milliard... Un tel jeu aurait une espérance colossale au plan mathématique, mais un intérêt nul la plupart du temps pour le joueur.
Eh bien dans un jeu de ce type, Monte-Carlo calculerait un peu n'importe quoi.
Cela aurait l'avantage pratique d'alerter le joueur sur l'intérêt très discutable de ce jeu.
Mais ça ne donnerait pas la réponse à la question de la valeur effective de l'espérance.
Citation :
Mais il y a moyen d'introduire dans le calcul cette précision souhaitée.
Eventuellement, par l'accumulation de résultats se recoupant, et dont on étudierait la distribution ?
Sur un plan pragmatique on peut l'envisager...
Mais sur un plan plus rigoureux, c'est quand même discutable.
En particulier, si j'invente une variante de Saint-Pétersbourg en plus complexe, pour lesquelles les cas de réalisations "excentriques" de X (j'entends par là un cas hautement improbable, mais de valorisation tellement élevée qu'elle impacte très fortement l'espérance...) serait "masquées" ou difficilement visibles sans un minimum de travail théorique...
... alors dans ce cas Monte-Carlo donnerait un résultat qui aurait toutes les apparences de quelque chose qui converge... mais qui ne serait qu'une "pseudo espérance".
Une sorte d'espérance conditionnelle "hors réalisations excentriques", si on peut dire.
Cette "pseudo espérance" aurait un intérêt pratique au sens où elle mesurerait "ce qui arrive en général".
Mais elle ne donnerait pas accès à l'espérance mathématique.
Donc tout dépend de ce qu'on vise.