Niveau énigmes

Mariage binaire décimal

Posté par
dpi 06-01-21 à 14:44

Bonjour à tous,

Si on divise un nombre binaire par son correspondant décimal,on
obtient de temps en temps * une valeur entière .
On observe que les deux premiers se suivent 1/1=1 et 10/2 =5 formant un duo.
Qui trouvera deux prochains duos.

*certainement < 1/400

Posté par re : Mariage binaire décimal 06-01-21 à 15:51

salut Dpi que veux tu dire par " se suivent " ?

Posté par re : Mariage binaire décimal 06-01-21 à 16:56

Voici la liste des nombres entre 1 et 999 dont la division est entière :

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         1 /   1 = 1
        10 /   2 = 5
       100 /   4 = 25
      1000 /   8 = 125
      1010 /  10 = 101
     10000 /  16 = 625
     10100 /  20 = 505
     10101 /  21 = 481
    100000 /  32 = 3125
    101000 /  40 = 2525
    101010 /  42 = 2405
   1000000 /  64 = 15625
   1010000 /  80 = 12625
   1010100 /  84 = 12025
   1100100 / 100 = 11001
  10000000 / 128 = 78125
  10100000 / 160 = 63125
  10101000 / 168 = 60125
  11001000 / 200 = 55005
 100000000 / 256 = 390625
 100010001 / 273 = 366337
 101000000 / 320 = 315625
 101010000 / 336 = 300625
 110010000 / 400 = 275025
1000000000 / 512 = 1953125
1000100010 / 546 = 1831685
1010000000 / 640 = 1578125
1010100000 / 672 = 1503125
1100100000 / 800 = 1375125

Avec 29 résultats sur 999 on est bien au delà de 1/400.

Excepté 1 et 2 qui se suivent, on a :

Cliquez pour afficher

Si $a$ est solution alors $a2^k$ est aussi solution.
En effet, $bin(a2^k) = [tex]bin(a)$ 10^k[/tex]. bin(a) est par hypothèse divisible par $a$ et $10^k = 2^k5^k$ est divisible par $2^k$ .

Les puissances de 10 sont des solutions.
En effet $bin(10^k) = bin(2^k5^k) = bin(5^k)10^k$

Voici la liste des nombres entre 1 et 1000000 qui sont solution sans être de la forme $a2^k$ avec k>0 et a une autre solution et qui ne sont pas une puissance de 10.

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Peut-on trouver un schéma?

Posté par re : Mariage binaire décimal 06-01-21 à 17:36

>flight
binaire 1 décimal 1et binaire 10 décimal 2 donnent 1/1=1 et 10/2=5 et sont un duo
puisqu'ils se suivent.
On cherche d'autres duos......

>Littlefox
Tu as du te rendre compte que la rareté progresse... <1/400

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Posté par re : Mariage binaire décimal 06-01-21 à 18:01

>Littlefox
Petit graphe des 80 valeurs sur 32000
Je suis surpris par les deux parties asymptotiques.

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Posté par re : Mariage binaire décimal 06-01-21 à 19:32

re

le programme suivant que j'ai fait en vba me retourne les memes valeurs que Littlefox

Citation :
Sub detente()
Dim t() As Variant
base_fin = InputBox("saisir la base finale pour la conversion") 'ici base 2

For boucle = 1 To 100
nombre = boucle
j = 0
w = ""
x = ""
n = 0
Erase t

w = ""

1:
Do
j = j + 1
Loop Until Val(base_fin) ^ j >= Val(nombre)
If Val(base_fin) ^ j > Val(nombre) Then
    w = w & "+" & ((Val(nombre) - Val(nombre) Mod (Val(base_fin) ^ (j - 1))) / (Val(base_fin) ^ (j - 1))) & "." & Val(base_fin) & "^" & (j - 1)
    If Val(nombre) - ((Val(base_fin) ^ (j - 1)) * (Int(Val(nombre) / (Val(base_fin) ^ (j - 1))))) <> 0 Then
    nombre = nombre - ((Val(nombre) - Val(nombre) Mod (Val(base_fin) ^ (j - 1))) / (Val(base_fin) ^ (j - 1))) * (Val(base_fin) ^ (j - 1))
    j = 0
      GoTo 1
      Else

      '***************************************
      For i = 1 To Len(w)
        If Mid(w, i, 1) = base_fin Then
          ReDim Preserve t(0 To n)
            t(n) = Mid(w, i + 2, 1)
              n = n + 1
        End If
      Next

      For i = Val(Mid(w, 6, 1)) To 0 Step -1
       If InStr(Join(t, " "), i) > 0 Then
         x = x & "1"
         Else
         x = x & "0"
        End If
      Next

      '***************************************
    End If
Else
    w = w & "+" & ((Val(nombre) - Val(nombre) Mod (Val(base_fin) ^ (j))) / (Val(base_fin) ^ (j))) & "." & Val(base_fin) & "^" & j
    nombre = nombre - (Val(base_fin) ^ j)
    If Val(nombre) - ((Val(base_fin) ^ j) * (Int(Val(nombre) / (Val(base_fin) ^ j)))) <> 0 Then
    nombre = nombre - ((Val(nombre) - Val(nombre) Mod (Val(base_fin) ^ (j))) / (Val(base_fin) ^ (j - 1))) * (Val(base_fin) ^ j)
    j = 0
      GoTo 1
      Else

       '***************************************
      For i = 1 To Len(w)
        If Mid(w, i, 1) = base_fin Then
          ReDim Preserve t(0 To n)
            t(n) = Mid(w, i + 2, 1)
              n = n + 1
        End If
      Next

      For i = Val(Mid(w, 6, 1)) To 0 Step -1
       If InStr(Join(t, " "), i) > 0 Then
         x = x & "1"
         Else
         x = x & "0"
        End If
      Next
      'MsgBox x

      '***************************************
    End If
End If
      If (Val(x) / boucle) - Int(Val(x) / boucle) = 0 Then
        resultat = resultat & Chr(10) & x & "/" & boucle

      End If
Next
MsgBox resultat  ' retourne le meme tableau que Litllefox
End Sub

Posté par re : Mariage binaire décimal 06-01-21 à 19:38

Quelles parties asymptotiques?

Voici le graphe de bin(x)/x. Avec marqué en rouge les coordonnées entières (les points solutions du problème). Les 2^20 premières valeurs.
Mariage binaire décimal

On voit que le graphe se répète.

Un zoom sur la plage [2^19, 2^20] montre qu'il n'y que 22 solutions "originales". Parmi celles-ci les plus proches sont écartées de plus de 2000. Ce qui est bien plus proche que nos solutions qui à cette échelle sont écartés de 2^15 = 32768.

Mariage binaire décimal

Je n'ai pas de preuve qu'il n'y ait pas de solutions qui se suivent au delà de 10^20 mais vu le nombre de solutions, c'est peu probable.