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mathhh exercice
bonsoir tout le monde je m'excuse car je vais vous envoyer un autre exo mais cela me parait vraiment diffficile .
montrer en utilisant le raisonnement par récurrence ce qui suit :
1) pour tout n
n3-n est divisible par 3
2) pour tout n 32n- 2n est divisible par 7
merci d'avanve et je vous promet il sera l edernier exo pour aujourd'hui 
Bonjour
pour le 1) tu peux factoriser l'expression en trois polynômes de 1er degré très simples
le 2) tu peux faire un classique tableau de congruences
Ah en utilisant le raisonnement par récurrence je n'avais pas vu !
j'imagine que tu sais faire les initialisations...
tu as commencé les hérédités ?
Une chose importante : dans un raisonnement par récurrence, lors de l'hérédité, il est important de savoir où tu veux arriver
Commence donc par y réfléchir, et peut être l'exprimer sous une autre forme?
Bonjour
Ton profil indique Niveau = seconde
Récurrence + congruence ! En France cela se voit en Terminale.
Merci de nous indiquer ton niveau réel afin que nous adaptions nos réponses.
Je pense qu'on peut l'aborder d'un point de vue d'un niveau de 1ère sans congruence, juste en utilisant le principe d'un multiple que tout le monde connaît
mais c'est vrai que cet exercice est un peu bizarre dans le cadre de 1ère S
salut
par reccurence ( en supposant vraie la proprieté n3-n=3q )
la calcul de (n+1)3-(n+1) donne n3+3n²+3n+1-n-1 =
(n3-n)+3(n²+n) comme par hypothèse n3-n=3q alors
(n3-n)+3(n²+n) = 3q + 3.K en posant (n²+n)=K et donc
(n+1)3-(n+1) = 3q + 3K = 3(q+K) donc vraie à l'ordre n+1
en france ces leçons ne se font jusqu'au terminal mais chez nous au maroc on les fait l'annee prochaine je veux dire premiere et maintenent je fait des cours d'été pour me préparer et voila c tout donc s'il vous plait aider moi
bonsoir flight
s'il te plait peut tu m'expliquer de ce que tu veut dire par
(n+1)3-(n+1) = 3q + 3K = 3(q+K) donc vraie à l'ordre n+1
Il veut dire que pour tout n, si n3-n est divisible par 3 alors (n+1)3-(n+1) est aussi divisible par 3
pour la deuxième tu peux remplacer 32n par 9n si ça peut t'aider à faire l'hérédité plus facilement. Tu dois émettre l'hypothèse que 9n-2n est un multiple de 7 et prouver que si c'est le cas, alors 9n+1-2n+1 est aussi multiple de 7.
phymath, tu peux étudier ce fichier, je pense que cela va t'intéresser
il y a un peu de congruences, un peu de divisibilité, et aussi un exemple simple de raisonnement par récurrence
Divisibilité - PGCD et PPCM - Nombres premiers
C'est vrai que ça simplifie tout mais cette identité remarquable n'est pas remarquable en première S (ni en terminale d'ailleurs)
De plus l'énoncé exige de procéder par récurrence
par recurrence :
9n -2 n = 7.q ( hypothèse supposée vraie à l'ordre n )
(9-2).(9n -2 n) = 7².q
(9n+12n+1) - 9.2n - 2.9n = 7².q
(9n+12n+1) -(7+2)2n - 2.9n = 7².q soit
(9n+12n+1) -7.2n - 2.(9n -2n)= 7².q soit
comme par hypothèse : 9n -2 n = 7.q
alors (9n+12n+1) -7.2n - 2.(7.q)= 7².q soit
en deplacant dans le membre de droite tout les termes multiple de 7 il vient
(9n+12n+1) = 7.K
Bonjour ;
Soit est divisible par 7 .
On a pour est vérifiée car
qui est divisible par 7 .
Supposons que pour est vérifiée , et voyons si elle est vérifiée pour
.
qui est divisible par 7 ,
donc : est vérifiée .
bonjour tout le monde
je voudrais bien vous remercier infinniiment pour l'aide que vous m'aviez offerte
phymath,
Pour l'hérédité, sans astuce :
On suppose que pour un n de 32n - 2n = 7q avec q entier.
On veut démontrer que 32(n+1) - 2n+1 est un multiple de 7 .
32(n+1) - 2n+1 = 9
32n - 2n+1 .
D'après l'hypothèse de récurrence, 32n = 2n + 7q .
D'où 32(n+1) - 2n+1 = 9( 2n + 7q) - 22n = 79q + (9-2)2n = 7(....)
salut
et le produit de trois entiers consécutifs donc il est trivialement multiple de 3 ...
mais bon puisqu'il faut utiliser la congruence ...
est donc trivialement multiple de 3 si
l'est ...
donc la récurrence est immédiate
est donc trivialement multiple de 7 si
l'est ...
donc la récurrence est immédiate
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