Votre réponse est   FAUSSE

La somme de 12 950,29 euros et la somme de 12 700 euros représentent le CAPITAL ACQUIS A LA FIN DE LA TROISIEME ANNEE.

a) En mathématiques financières que signifie l'expression "CAPITAL ACQUIS"

b) et quel est alors le montant des intérets générés la troisième année :

1) Dans la méthode des intérêts composés

2) Dans la méthode des intérêts simples

3) Quelle est la constatation que l'on fait ?


QUESTION D  : Les intérêts générés globalement pendant les 5 dernières années.

(question encore facile : j'ai déjà fait les calculs)
(On demande les    I N T E R E T S  )

1) Dans la méthode des intérêts composés

2) Dans la méthode des intérêts simples

Ah j'ai compris c'est juste les termes « intérêts générés » que j'avais pas compris

donc l'exercice est fini maintenant ? ou je dois faire quelque chose d'autre encore ?

PERSONNELLEMENT, pour moi, LE PLUS IMPORTANT RESTE A FAIRE…...

QUESTION  E : Le taux d'intérêt semestriel qu'il faudrait appliquer pour obtenir à l'issue des 10 années de placement la valeur acquise déjà calculée.

Il s'agit de la question la plus importante (et aussi la plus délicate à faire).

Cette question va permettre de découvrir deux notions importantes en mathématiques financières.

Une remarque préalable : l'énoncé demande d'effectuer les calculs "à l'issue des 10 années de placement".

C'est bien, cela est possible…..Mais que de risques d'erreurs………
On va transformer cet énoncé …….pour qu'il soit réalisable……. Disons……plus facilement

LA QUESTION MODIFIEE :

Maintenant il s'agit de calculer les intérêts par semestres. On rappelle qu'il y a 2 semestres dans une année, et, qu'à la fin de chaque semestre les intérêts sont capitalisés.
On prendra uniquement la première année de calcul pour le placement.

On demande de calculer quel est le taux d'intérêt semestriel qui permet d'obtenir, pour un capital placé de  
10 000 euros, la même valeur acquise, à savoir

1) Dans le cas de la méthode des intérêts simples une valeur acquise de 10 900,00   euros au bout de 1 an

2) Dans le cas de la méthode des intérêts composés une valeur acquise de 10 900,00   euros au bout de 1 an

Fin de l'énoncé modifié.

A vous lire

PS : On vous demande de résoudre ce problème à quel niveau d'études ?

Je suis en licence économie

Le sujet n'est pas clair ? Ou l'énoncé utilise des mots compliquer ?

HAAAAAAAAAAAAAAAAAAA  que la vie est difficile…..

QUESTION E

I - DANS LE CAS DE CALCUL  DU TAUX SEMESTRIEL AVEC LA METHODE DES INTERETS SIMPLES

A) ETUDE DU CAS AVEC LE CALCUL DES INTERETS EN FIN DE LA PREMIERE ANNEE

On a donc :

1) Capital de départ 10 000,00   euros
2) Taux annuel de 9,00   % l'an soit 0,09   pour 1 par an
c) Durée du placement : 1 an

On a vu plus haut que le capital acquis au bout de 1 an est le suivant :

ANNEE 1 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00  
Intérêt de l'année : 0,09 * 10 000,00   = 900,00  
Capital acquis à la fin de la première année :
10 000,00   + 900,00   = 10 900,00  

B) ETUDE DU CAS AVEC LE CALCUL DES INTERETS A LA FIN DE CHAQUE SEMESTRE

On a donc DEUX périodes de calcul :
* pour le premier semestre
* pour le second semestre
avec les éléments suivantes
1) Capital de départ 10 000,00   euros
2) Taux semestriel à calculer : soit un taux de "x" pour 1 par semestre
3) Durée du placement : 1 an soit 2 semestres

4) Le capital acquis au bout de 1 an (soit 2 semestres)  est le suivant :

SEMESTRE 1 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00  
Intérêt du 1er semestre : x * 10 000,00   = 10 000 x
Capital acquis à la fin du premier semestre :
10 000,00   + 10 000 x = 10 000,00   (1 + x)

SEMESTRE 2 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00  
Intérêt du second semestre :   x * 10 000,00   = 10 000 x
Capital acquis à la fin du second semestre
[ 10 000,00 (1 + x)  ]  + 10 000 x = 10 000,00   (1 + 2x) (êtes d'accord avec cette ligne)

5) Détermination du taux semestriel dans cet anoncé

On sait que le capital acquis à la fin de la première année qui correspond au capital acquis à la fin du second semestre est de 10 900,00  

On a donc :

10 000,00   (1 + 2x) = 10 900,00  

Je vous laisse continuer pour trouver le taux "x"

6) En fonction du résultat trouve au 5) ci-dessus, quelle serait la formule de calcul à partir du taux annuel pour trouver :

* Le taux trimestriel
* Le taux mensuel

10 000,00   (1 + 2x) = 10 900,00
2x=10 900,00 - 10 000,00
2x=900
x=450

DUR DUR LES MATH…...faux…..

Les calculs sont à refaire….et écrire ce que représente "x"

comment je fais pour 10 000,00   (1 + 2x) = 10 900,00
le " 1" je dois en faire quoi j'ai compris qu'il faut isoler le x pour avoir sa valeur

sinon j'ai compris vos explications

10 000,00   (1 + 2x) = 10 900,00  je sais pas quoi faire pour disparaît le 1 de la parenthèse ou pour le sortir de la parenthése

La solution ………………………….

On a donc :

10 000,00   (1 + 2x) = 10 900,00  
1 + 2x   = 10 900,00   / 10 000,00  
1 + 2x   = 1,09
2 x = 1,09 -1
2x = 0,09
x = 0,09 / 2
x = 0,045

Le taux d'intérêt semestriel est de 0,045 pour 1 par semestre soit 4,5 % par semestre

et :

6) En fonction du résultat trouve au 5) ci-dessus, quelle serait la formule de calcul à partir du taux annuel pour trouver :

* Le taux trimestriel
* Le taux mensuel

Taux trimestriel : Taux annuel/12

Taux trimestriel :
0,045 = (1 + x)⁴


Taux mensuel : Taux annuel/ 12 mois

Taux mensuel :
0,045 = (1 + x)¹²

pardon le taux trimestriel : taux annuel/4

Un effort de rédaction qui reste confus.

QUESTION E

I - DANS LE CAS DE CALCUL  DU TAUX SEMESTRIEL AVEC LA METHODE DES INTERETS SIMPLES

6) En fonction du résultat trouve au 5) ci-dessus, quelle serait la formule de calcul à partir du taux annuel pour trouver :

* Le taux trimestriel
* Le taux mensuel

Dans le cas d'un calcul à intérêts simples on constate que le taux annuel de 9,00   %  donne des résultats identiques qu'un taux semestriel de 4,50   %.
On est dans le cas d'un calcul d'un TAUX DIT PROPORTIONNEL, calculé en fonction du nombre de période compris dans une année.

Ainsi, pour un taux annuel de 9,00   % on aura  :

* un taux mensuel de : 9,00   %  / 12   = 0,75   % par mois
* un taux trimestriel de : 9,00   %  / 4   = 2,25   % par trimestre
* un taux semestriel  de : 9,00   %  / 6   = 1,50   % par semestre

QUESTION E

II -  DANS LE CAS DE CALCUL  DU TAUX SEMESTRIEL AVEC LA METHODE DES INTERETS COMPOSES

A) ETUDE DU CAS AVEC LE CALCUL DES INTERETS EN FIN DE LA PREMIERE ANNEE

On a donc :

1) Capital de départ 10 000,00   euros
2) Taux annuel de 9,00   % l'an soit 0,09   pour 1 par an
c) Durée du placement : 1 an

On a vu plus haut que le capital acquis au bout de 1 an est le suivant :

ANNEE 1 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00  
Intérêt de l'année : 0,09 * 10 000,00   = 900,00  
Capital acquis à la fin de la première année :
10 000,00   + 900,00   = 10 900,00  

B) ETUDE DU CAS AVEC LE CALCUL DES INTERETS A LA FIN DE CHAQUE SEMESTRE

On a donc DEUX périodes de calcul :
* pour le premier semestre
* pour le second semestre

avec les éléments suivantes
1) Capital de départ 10 000,00   euros
2) Taux semestriel à calculer : soit un taux de "z" pour 1 par semestre
3) Durée du placement : 1 an soit 2 semestres

4) Le capital acquis au bout de 1 an (soit 2 semestres)  est le suivant :

SEMESTRE 1 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00  
Intérêt du 1er semestre : z * 10 000,00   = 10 000 z
Capital acquis à la fin du premier semestre :
10 000,00   + 10 000 z = 10 000,00   (1 + z)

SEMESTRE 2 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00   (1 + z)
Intérêt du second semestre :   z * [ 10 000,00   (1 + z)  ]  = je vous laisse calculer le résultat qui donne "T"
Capital acquis à la fin du second semestre
[ 10 000,00 (1 + z)  ]  + ……………"T"……………..  = je vous laisse calculer le résultat qui donne "R"

5) Détermination du taux semestriel dans cet énoncé

On sait que le capital acquis à la fin de la première année qui correspond au capital acquis à la fin du second semestre est de 10 900,00  

On a donc :

……….."R"……………. = 10 900,00  

Je vous laisse continuer et résoudre cette équation du second degré à une seule inconnue ET CALCULER LA VALEUR DE "z".

ERREUR…………………………………………….ERREUR
(nul n'est parfais........................désolé)

Il est écrit :

* un taux semestriel  de : 9,00   %  / 6   = 1,50   % par semestre

IL FAUT LIRE :

* un taux bimestriel  de : 9,00   %  / 6   = 1,50   % par bimestre
(il y a 6 périodes de 2 mois dans une année).

Le "R" et le "T" signifie quoi ?

z * [ 10 000,00   (1 + z)  ] =  T
10 000 z +1+z=T
10 001 z +1 =T

donc je dois trouvé une équation de cette forme la ax ²+ bx + c
puis faire =b²-4ac=0 car il doit avoir une seule solution
et faire x=-b/2a

Le "R" et le "T" signifie quoi ?

Signification de R et T : valeur de calculs intermédiaires à trouver

z * [ 10 000,00   (1 + z)  ] =  T
10 000 z +1+z=T
la deuxième ligne est fausse.

La solution

QUESTION E

II -  DANS LE CAS DE CALCUL  DU TAUX SEMESTRIEL AVEC LA METHODE DES INTERETS COMPOSES

ETUDE DU CAS AVEC LE CALCUL DES INTERETS EN FIN DE LA PREMIERE ANNEE

SEMESTRE 1 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00  
Intérêt du 1er semestre : z * 10 000,00   = 10 000 z
Capital acquis à la fin du premier semestre :
10 000,00   + 10 000 z = 10 000,00   (1 + z)

SEMESTRE 2 :
Capital placé au départ base des intérets : 10 000,00   (1 + z) ¹  ²
Intérêt du second semestre :   z * [ 10 000,00   (1 + z)  ]  = z (   10 000 + 10 000 z ) = 10 0000 z + 10 000  z² = 10 000 z ( 1 + z)
Capital acquis à la fin du second semestre
[ 10 000,00 (1 + z)  ]  +  [ 10 0000 z  ( 1+z) ] ] =
mise en factuer de (1+z) on a :
(1 + z ) [ 10 000 + 10 000 z)  =
mise en facteur de 10 000

(1+z)  [ 10 000 ( 1 + z )  ]  soit

10 000 (1 + z) ²

5) Détermination du taux semestriel dans cet énoncé

On sait que le capital acquis à la fin de la première année qui correspond au capital acquis à la fin du second semestre est de 10 900,00  

10 000 (1 + z) ² = 10 900
(1 + z) ² = 10900 / 10 000
(1 + z) ² = 1,09
1 + z = 1,09 ¹ ′ ²  (bien lire puissance 1/2)
1 +z = 1,044030651
z = 1,044030651 -1
z = 0,044030651

Le taux semestriel à intérêts composé est de 0,044030651 pour 1 soit 4,4030651 % par semestre
est appelé le TAUX EQUIVALENT semestriel.

"AUTRE" chemin pour résoudre cette équation :

On a  :

10 000 (1 + z) ² = 10 900
On divise par 10 000
(1+z) ² = 1,09
1   + 2 z  + z² = 1,09
z² + 2 z + 1  - 1,09 = 0

z² + 2 z  - 0,09 = 0


RESOLUTION EQUATION DU SECOND DEGRE


ax² + bx + c

avec :

a = 1,00  
b = 2,00  
c = -0,09  

b² = 1,00   * 1,00   = 1,00  
4ac = 4,00   * 1,00   * -0,09   = -0,36  

a) calcul du discriminant

b² = 4,00  
4ac = -0,36  

b²-4ac 4,36  
2,088061  

b) Racines de l'équation




z1 = ( 2,088061302 -2 ) / 2
z1 = 0,088061302 / 2
z1 = 0,044030651



z2 = ( -2,088061302 -2 ) / 2
z2 = -4,088061302 / 2
z2 = -2,044030651


La bonne racine de cette équation est z1 = 0,044030651

Le taux semestriel à intérêts composé est de 0,044030651 pour 1 soit 4,4030651 % par semestre
est appelé le taux équivalent semestriel.

6) En fonction du résultat trouve au 5) ci-dessus, quelle serait la formule de calcul à partir du taux annuel de 9 % pour trouver :

* Le taux trimestriel équivalent
* Le taux mensuel équivalent
* le taux bimestriel équivalent (il y a 6 bimestres dans une année)

à faire

taux mensuel de : 9,00   %  / 12   = 0,75   % par mois
taux trimestriel de : 9,00   %  / 4   = 2,25   % par trimestre
taux bimestriel : 9,00   %  / 6= 1,5 % par bimestre

TOUT EST FAUX  

En matière d'intérêts composés les taux périodiques sont EQUIVALENTS

On calcule des puissances .

TAUX MENSUEL  =  ( 1,09¹ ′ ¹² ) - 1 = 1,007207323 -1 = 0,007207323 pour 1 par mois soit 0,720732332 pour 1 par mois

faire les autres

taux trimestriel : (1.09^0,4) - 1=0,02177818086
taux bimestriel 1,09^0,6)-1=0,5306674609

c'est correct ce que j'ai mis ?

j'ai une question pourquoi ici

ANNEE 1 :
Capital placé au depart base des intérets : 10 000,00  
Intérêt de l'année : 0,09 * 10 000,00   = 900,00  
Capital acquis en fin d'année :
10 000,00   + 900,00   = 10 900,00  

ANNEE 2 :
Capital placé au depart base des intérets : 10 000,00  
Intérêt de l'année : 0,09 * 10 000,00   = 900,00  
Capital acquis en fin d'année :
10 900,00   + 900,00   = 11 800,00  


pour l'année 3 vous prenez pas le résultat pour l'intérêt simple le résultat  "10 900,00"  pour l'année 2 car vous prenez la même valeur dans le capital placé au départ base des intérêts  pour l'année 1 et 2 "10 000,00" alors que pour l'intérêt composé vous aviez pris le résultat de l'année 1 " 10 900,00  " pour le mettre dans le capital placé en début d'année à l'année 2

ANNEE 1 :
Capital placé en début d'année : 10 000,00  
Intérêt de l'année : 0,09 * 10 000,00   = 900,00  
Capital acquis en fin d'année :
10 000,00   + 900,00   = 10 900,00  

ANNEE 2 :
Capital placé en début d'année : 10 900,00  
Intérêt de l'année : 0,09 * 10 900,00   = 981,00  
Capital acquis en fin d'année :
10 900,00   + 981,00   = 11 881,00  

Vous avez écrit :

1) taux trimestriel : (1.090,4) - 1=0,02177818086

a) le résultat  : 0,02177818 est exact

MAIS………écrire…….. (1.090,4) - 1=   est faux car vous avez écrit 1,09 à la puissance 4 dixième


b) la bonne écriture

il faut écrire : (1,09¹′⁴ ) -1 (lire 1,09 à la puissance 1/4) qui donne un résultat de 0,02177818 pour 1 par trimestre

ou encore : (1,09 ⁰′²⁵ )-1 (lire 1,09 à la puissance 0,25) qui donne un résultat de 0,02177818 pour 1 par trimestre


2) TAUX BIMESTRIEL : (1,09 ⁰′⁶ ) - 1 =0,5306674609

Incompréhensible TOUT EST FAUX

La bonne écriture et le bon résultat

il faut écrire : (1,09¹′⁶ ) -1 (lire 1,09 à la puissance 1/6) qui donne un résultat de
1,014466592 -1 = 0,014466592 pour 1 par bimestre

ou encore : (1,09 ²′¹² )-1 [ lire 1,09 à la puissance 2/12 (d'une année) ] qui donne un résultat de
1,014466592 -1 = 0,014466592 pour 1 par bimestre

3) On constate, heureusement, que le taux par bimestre (deux mois)  est inférieur au taux trimestriel (trois mois).

VOTRE QUESTION

pour l'année 3 vous prenez pas le résultat pour l'intérêt simple le résultat  "10 900,00"  pour l'année 2 car vous prenez la même valeur dans le capital placé au départ base des intérêts  pour l'année 1 et 2 "10 000,00" alors que pour l'intérêt composé vous aviez pris le résultat de l'année 1 " 10 900,00  " pour le mettre dans le capital placé en début d'année à l'année 2

MA REPONSE

La constatation que vous avez faite CARACTERISTE la différence entre

a) la méthode des intérêts simples : les intérêts sont TOUJOURS CALCULES SUR LE CAPITAL DE DEPART,

b) la méthode des interêts composés : les intérêts sont TOUJOURS CALCULES SUR LE CAPITAL ACQUIS EN DEBUT DE PERIODE.

Vous connaissez, maintenant, la définition de l'expression "CAPITAL ACQUIS".