Bonjour
Une augmentation de 5% correspond à un coefficient multiplicateur de (1+5%)=1.05
....

Bonjour,

Dans ce genre d'exercice, il faut penser à la notion de suite.

Appelons (S_n) la suite définie par S₀ = 300

et S_n) = somme obtenue au bout de n années de placement

Comment trouver S₁, puis S₂ ?

Puis généralisons comment trouver S_n+1 en fonction de S_n ?

J'arrive à S_n= 1.03 (S_n-1+S₀)
Pouvez-vous me confirme que c'est correct ?

Pas vraiment !

Tu nous donnes les éléments de ta réflexion.

Après réflexion, j'arrive plutôt à S_n=1,03(S_n-1+300) avec S₀=0

Est-ce mieux ?

C'est la même chose .... tu as juste remplacé S₀  par 300 et c'est toujuors aussi faux !

On reprend calmement. Avec la définition de la suite que j'ai donnée que trouves tu pour S₁  et S ?

S₀  ne vaut pas 0 ...... il ne commence pas par placer 0 unités mais 300 !!!!!

Oui mais avant de placer la première unité il a 0.

S₁ = 300 + 0,03*300
S₂ = S₁ + 300 + 0,03(S₁ + 300)

S_n = S_n-1 + 300 + 0,03(S_n-1+300)

S₁ = 300 + 0,03*300  = 300(1 + 0,03) = 300 * 1,03 = 309

S₂ = S₁ + 0,03*S₁  = S₁(1 + 0,03) = S₁ * 1,03 = 309 * 1,03 = 318,27

Et pas ce que tu écris !

Sauf que s'il place 300.- par année, la deuxième année il devrait y avoir au moins 600.-

J'avais pas vu ..... en effet ...... il met tous les ans 300unités ..... tu as raison ..... j'avais mal lu l'énoncé .....

S₁ = 1,03*S₀ + 300

S₂ = 1,03*S₁ + 300

et S_n+1 = 1,03*S_n + 300

Pas de soucis, ça arrive à tout le monde (moi le premier^^)

J'ai une autre question du coup :

Supposons que je veuille calculer S₃₄₂
Comment je fait sans pour anûtant devoir calculer S₁,..., ₃₄₁ (ça me prendrait la journée^^

Autrement dit, comment pourrais-je faire pour avoir S_n en fonction de n et non de S_n-1 ?

En principe au lycée, on introduit une nouvelle suite donnée (V_n) qui elle sera géométrique permettant de calculer V_n en fonction de n.

Si cette suite n'est pas donnée il faut trouver les réels a et b tels que la suite définie par

V_n = aS_n + b  soit géométrique

Ici la suite (V_n) définie par



Devrait être géométrique si je n'ai pas fait de fautes de calcul !

Faute de frappe dans mon LaTeX

La suite (V_n) étant géométrique de 1er terme V₀ = S₀ + 10000 = 10300 et de raison q = 1,03

V_n = V₀* qⁿ = 10300* 1,03ⁿ

Or V_n = S_n + 10000  

donc S_n = V_n - 10000 = 10300* 1,03ⁿ - 10000

Il faut savoir que si une suite arithmético-géométrique est définie par

U_n+1 = aU_n + b   avec a 0 et a1 et b 0 (sinon on est en présence soit d'une suite constante soit d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique)

Alors la suite (V_n) définie par est géométrique

Bonjour à tous

Une proposition de solution


A) ANALYSE DES DONNEES DE L'ENONCE


D'après l'énoncé on a :

Année 1 :
Début : Montant versé 300,00  
Ce montant est "capitalisé" pendant 5 ans soit à la fin 300,00   * 1,03 ⁵ est égal  à S(1)

Année 2 :
Début : Montant versé 300,00  
Ce montant est "capitalisé" pendant 4 ans soit à la fin 300,00   * 1,03 ⁴ est égal  à S(2)

Année 3 :
Début : Montant versé 300,00  
Ce montant est "capitalisé" pendant 3 ans soit à la fin 300,00   * 1,03 ³ est égal  à S(3)

Année 4 :
Début : Montant versé 300,00  
Ce montant est "capitalisé" pendant 2 ans soit à la fin 300,00   * 1,03 ² est égal  à S(4)

Année 5 :
Début : Montant versé 300,00  
Ce montant est "capitalisé" pendant 1 ans soit à la fin 300,00   * 1,03 ¹ est égal  à S(5)


B) On doit calculer la somme de S(1) + (S2)+ … + (S4) + (S5) = V(5)


On constate que la somme V(5) est constituée d'une progression géométrique :
* avec un premier terme de : 300,00   * 1,03
* avec une raison de : 1,03
* avec un nombre de terme de : 5

V(5), appelée valeur acquise par les 5 versements au bout de 5 ans, est la somme de tous ces termes
soit :

V(5) =  ( 300,00   * 1,03 ) *  [  (  1,03⁵   - 1 ) ]  /  ( 1,03 - 1 )

V(5) =  ( 309,00   )   *  [   ( 1,159274074 -1 )  ]  /  0,03

V(5) =   309,00   * 0,159274074 / 0,03

V(5) =   49,215689   / 0,03

V5 = 1 640,523  


C) LA VERIFICATION : LE TABLEAU DE CAPITALISATION

Deux méthodes pour trouver

10300* 1,03⁵ - 10000 = 1940,522965  arrondi à 1940, 52 = 1640, 523 + 300

A toi de choisir celle qui te convient le mieux.

Pour la mienne, il faut avoir appris les suites arithmético-géométriques !