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Niveau IUT/DUT
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Maths financières - exercice sur les emprunts

Posté par
bornin1996
09-10-18 à 02:08

Bonsoir, je suis en première année d'iut de gestion des entreprises et des administrations.  Je dois rendre un Devoir de mathématiques financières  et  je voudrai savoir si ma démarche est cohérente. Donc je sollicite vivement votre aide pour ainsi résoudre la première question  de mon exercice, s'il vous plait. Merci de votre aide .

L'énoncé et la premiére question:  

Le service d'un emprunt remboursable  en 12 annuités constants, la première payable
un an après l'obtention des Fonds, fait apparaître les renseignements suivants:
la Somme des 2 premiers amortissements (A1 + A2) est de 1449540.
la Somme du deuxième et du troisième amortissement (A2 + A3) est de 1590870.
1/ calculer le taux De l'emprunt et le montant du premier amortissement.

Ce que j'ai fait:
Les informations que j'ai pu tirées du texte:
12 annuités constantes et la première payable un an après l'obtention des fonds ; j'en déduis que le prêt est remboursable  sur 12 ans . Et comme les annuités sont constantes donc les amortissements suivent une logique géométrique de raison
q = 1+t.
Et j'ai exprimé les autres amortissements en fonction de A1 et q. Puis j'ai dressé un système d'équations. Mais après cela je bloque .  MERCI D'AVANCE

Posté par
PLSVU
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 08:37

Bonjour,
(A1+A2)=.....;
(A3+A2)-(A2+A1)=.....  
ce qui te permet  de calculer t

Posté par
macontribution
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 09:47

Bonjour à tous

Toutes les propositions sont "bonnes à étudier".....et surtout à vérifier……

Une autre proposition :

(A3+A2)= …………………

(A2 + A1) = …………………..

(A3+A2)  /  (A2+A1) = …………………………...  

ce qui permettra  de calculer "t"

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 12:22

Bonjour à tous  et merci pour vos réponses.
PLSVU  pourquoi avoir écrit (A3+A2)-(A2+A1), est ce  par ce qu'on a une suite géometrique?

macontribution, (A3+A2)  /  (A2+A1) = ...,  est ce une méthode à employer qu'avec les suites géométriques

Posté par
macontribution
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 14:01

BORNIN1996

En mathématiques financières il fait utiliser :
* les "-"
* les "+"
* les "x"
* les ":"
* les puissances
* les racines
* les logarithmes
* etc etc
* et surtout une analyse et un logique pour appliquer les formules utilisées

Pour votre "début" en mathématiques financières suivez le conseil que je vous ai donné…on verra PLUS TARD les conclusions que l'on peut élaborer….

Posté par
PLSVU
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 14:06

bornin1996
En partant de la  définition d'amortissement :
Annuité=Amortissement +intérêt
Amortissement=Annuité -intérêt
annuité noté R
A_1=R-C_0*t 
 \\ A_2= R-(C_0- A_1)*t
 \\ A_3=R-(C_0-A_1-A_2)t*
A_3-A_1=(R-C_0-A_1-A_2)t-R- (R-C_0*t )= (A1+A2)t
or
A_3+A_2-(A_2+A_1)=A_3-A_1

Posté par
PLSVU
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 14:09

  bornin1996
Je te laisse  avec macontribution , que je salue  , qui est le spécialiste des math financières sur le site .

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 17:53

Salut macontribution, j'ai suivi votre démarche et j'ai obtenu t = 0.974
Voci plus de  détails

A1 + A2  =  1449540
A2 + A3 = 1590870
  A2 + A3 /   A1 + A2 = 1590870/1449540
et donc   \frac{A2 + A3 }{A1 + A2}  = 1.0974
or A2 = A1(1+t) et A3 = A1(1+t)2
alors on aura :
\frac{A1(1+t)2 + A1(1+t)}{A1(1+t) + A1}
On simplifie on aura
  \frac{(1+t)(2+t)}{2+t} = 1.0974
On simplifie encore et on obtient :
1+t = 1.0974
donc t = 0.974 ou t = 97.4%
Mais je ne suis pas sûre du résultat parce que le taux est tellement élevé

Posté par
macontribution
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 18:07

Vous avez écrit :

On simplifie encore et on obtient :
1+t = 1.0974  : exact

donc t = 0.974 ou t = 97.4% : faux

Mais je ne suis pas sûre du résultat parce que le taux est tellement élevé : exact on n'est pas au temps de "AL CAPONE".


erreur dans le calcul de t = 0.0974 pour 1 sinon bon raisonnement

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 18:09

Pourquoi la réponse est fausse  ?
Quand on a
1+t = 1.0974

Posté par
macontribution
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 18:11

Un solution possible :

II - MISE EN EQUATION DU PROBLEME

A) CALCUL du TAUX

On "CONNAIT" la loi sur les AMORTISSEMENTS :

Premier amortissement (1+t ) = Deuxième amortissement

1) D'où : A2  =  A1 (1+t)
et : A3 =  A2 (1+t)
et : A2 / A1 = (1+t)

2) A1 + A2  = 1 449 540,00  
A1 + [ A1 (1+t) ]= 1 449 540,00  
A1 ( 1 + 1+t) = 1 449 540,00  
A1 (2 + t) = 1 449 540,00  

3) A2 + A3 = 1 590 870,00  
A2 + [ A2 (1+t) ]= 1 590 870,00  
A2 ( 1 + 1+t) = 1 590 870,00  
A2 (2 + t) = 1 590 870,00  

4) Divisons 3) par 2), on a :

[A2 (2 + t) ]  / [ A1 (2 + t)  ]= 1 590 870,00   / 1 449 540,00  
A2  / A1  =   1,097499897

d'où :

(1+t) = 1,097499897
t = 1,097499897 -1,00  
t  = 0,097499897

Le taux annuel est de 0,097499897 pour 1 soit 9,749989652 % l'an,
que je vous laisse arrondir….

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 18:12

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 18:12

Au début j'avais commencé par faire un système mais j'ai fini par laisser tomber . Merci beaucoup

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 18:46

J'ai vu mon erreur
1+t = 1.0974
t = 1 - 1.0974
donc t = 0.0974

Posté par
macontribution
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 20:00

C'était déjà bien d'avoir trouvé que votre résultat "était anormal"

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 23:43

Alors j'ai continué l'exercice . Aprés avoir calculé le taux de l'emprunt on nous demande de calculer le montant du premier amortissement.
2/ Déterminer le montant du dernier amortissement et le capital emprunté.
3/Calculer le montant de l'annuité
4/Calculer la somme totale des intérêts produits par l'emprunt.
5/ Calculer le capital restant dû après le paiement de la huitième annuité.

* Calcul de A1
A1 +  A2 = 1449540
\Leftrightarrow A1 + A1(1+t) = 1449540

A1(1+(1+t)) = 1449540 \Rightarrow A1 = \frac{1449540}{2+t} \Rightarrow A1 = 691112.806


2/ Calcul du dernier amortissement (  A12) et du capital emprunté

A12 = A<sub>12</sub> = A<sub>1</sub>(1+t)<sup>11</sup> = 691112.806 (1.0974)<sup>11</sup> =  A<sub>12</sub> = 1921159, 642

Le capital emprunté
V0 = \sum_{i=1}^{n}{A<sub>i</sub>} = A<sub>1</sub> \frac{(1+t)<sup>n</sup> - 1 }{t} \Rightarrow V<sub>0</sub> = 14 549 977.26


Le montant de l'annuité
On sait que V0 = a\frac{1- (1+t)<sup>-n</sup>}{t}
 \\  \Rightarrow a = \frac{V0*t }{1- (1+t)<sup>-n</sup>}
 \\  \Rightarrow a = 2108280.591

4*/ Calcul de la somme totale des intérêts produits par l'emprunt
Là je ne sais comment procéder. Est cequ'il y a une formule pour la calculer? Ou est ce que je dois calculer les 12 intérêts de chaque année et puis faire la somme?

5/ Calcul du capital restant dû aprés le paiement de la huitième année
V'0 = A1\frac{(1+t)<sup>p</sup> - 1 }{t} avec p = 8 
 \\ \Rightarrow 691112.806 = \frac{(1.0974)<sup>8</sup> - 1}{0.0974} 
 \\ \Rightarrow V<sub>0</sub> = 7 829 224.13

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 09-10-18 à 23:59

Bonsoir,
Alors j'ai continué l'exercice . Aprés avoir calculé le taux de l'emprunt on nous demande de calculer le montant du premier amortissement.
2/ Déterminer le montant du dernier amortissement et le capital emprunté.
3/Calculer le montant de l'annuité
4/Calculer la somme totale des intérêts produits par l'emprunt.
5/ Calculer le capital restant dû après le paiement de la huitième annuité.

* Calcul de A1
A1 +  A2 = 1449540
\Leftrightarrow A1 + A1(1+t) = 1449540

A1(1+(1+t)) = 1449540
\Rightarrow A1 = \frac{1449540}{2+t} 
 \\ \Rightarrow A1 = 691112.806


2/ Calcul du dernier amortissement (  A12) et du capital emprunté

A12= A1(1+t)^11
         = 691112.806 (1.0974^11)
donc   A12 = 1921159, 642

Le capital emprunté
V0 =somme des Ai pour i allant de  à n
V0 =  A1  [(1+t)^n - 1 ] / t
V0 = 14 549 977.26


Le montant de l'annuité
On sait que V0 = a\frac{1- (1+t)^-n}{t}
  \Rightarrow a = \frac{V0*t }{1- (1+t)^-n}
 \Rightarrow a = 2108280.591

4*/ Calcul de la somme totale des intérêts produits par l'emprunt
Là je ne sais comment procéder. Est cequ'il y a une formule pour la calculer? Ou est ce que je dois calculer les 12 intérêts de chaque année et puis faire la somme?

5/ Calcul du capital restant dû aprés le paiement de la huitième année
V'0 = A1 [(1+t)^p- 1 ][t] avec p = 8
691112.806 =[(1.0974)^8 - 1]/[0.0974]
V0 = 7 829 224.13

Posté par
PLSVU
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 10-10-18 à 17:50

4/ Calcul de la somme totale des intérêts produits par l'emprunt =
  somme des intérêts= montant de la totalité annuités - montant de l'emprunt

Posté par
bornin1996
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 10-10-18 à 22:37

Bonsoir,
De mon côté je suis passée par cette voie pour trouver la somme totale des intérets
On sait que a = A+ I donc I = a-A
Et de ce fait
Somme totale des  Intérêts =  somme totale des annuités - somme totale des amortissements

Vu que le prêt est remboursable en 12  annuités constantes
somme totale des annuités = annuité x 12

Et comme l'annuité constante l'amortissement suit une logique géometrique
alors là j'ai employé la formule de la somme des termes  d'une suite géométrique.

Alors que pensez-vous de ma démarche?

Posté par
PLSVU
re : Maths financières - exercice sur les emprunts 10-10-18 à 22:53

c'est juste  , pour  le calcul de q112   heureusement qu'il y a la calculatrice .
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