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Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 22-02-14 à 22:20

Bien, une fonction à deux variables alors !

Pour les points critiques, je pense avoir compris !

Peux tu aller voir ton lien sur la matrice hessienne ou tu m'avais dirigé ? Je t'y ai répondu et je n'attend que toi pour savoir si j'ai bien compris ou non les points critiques ?

Merci !!

Merci également de bien vouloir m'entrainer avec un sujet de ta conception ! Ca me remplis d'une douce appréhension ! ;D

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 22-02-14 à 23:25

Hop, c'est bon, Lafol a eu la gentillesse de me corriger et j'ai compris mon erreur ainsi que les points critiques (du moins je pense les avoir compris !)

A verifier avec le "controle" que tu me fera

Merci encore !!

Posté par
LeDino
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 00:01

Pour t'exercer et te mettre en confiance, voici un cas raisonnablement simple.

On considère la fonction de deux variables :  \boxed {  f(x,y) = x^2 y + 2x y^2 - 2x + 1  }

(1) Calculer  f(0;0),  f(0;1)  et  f(1;1)
(2) Calculer les dérivées partielles  \partial f/\partial x  et  \partial f/\partial y
(3) Donner l'équation du plan tangent au point T de coordonnées  (1,1,f(1,1))
(4) Déterminer les points critiques de  f
(5) Quelle est la nature du point C de coordonnées  (0,1,f(0,1)) ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 00:16

LeDino est revenu : je vais pouvoir aller dodo, je ne suis pas aussi "oiseau de nuit" que vous deux à demain !

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 00:40

Citation :
Pour t'exercer et te mettre en confiance, voici un cas raisonnablement simple.

On considère la fonction de deux variables :  \boxed {  f(x,y) = x^2 y + 2x y^2 - 2x + 1  }

(1) Calculer  f(0;0),  f(0;1)  et  f(1;1)
(2) Calculer les dérivées partielles  \partial f/\partial x  et  \partial f/\partial y
(3) Donner l'équation du plan tangent au point T de coordonnées  (1,1,f(1,1))
(4) Déterminer les points critiques de  f
(5) Quelle est la nature du point C de coordonnées  (0,1,f(0,1)) ?


(1)

 \\ f(0;0) = (0)^2(0) + 2(0)(0)^2 - 2(0) + 1
 \\ f(0;0) = 0 + 0 - 0 + 1
 \\ f(0;0) = 1
 \\ 
 \\ f(0;1) = (0)^2(1) + 2(0)(1)^2 - 2(0) + 1
 \\ f(0;1) = 0 + 0 - 0 + 1 
 \\ f(0;1) = 1
 \\ 
 \\ f(1;1) = (1)^2(1) + 2(1)(1)^2 - 2(1) + 1
 \\ f(1;1) = 1 + 2 - 2 + 1
 \\ f(1;1) = 2

(2)

\partial f/\partial x = 2xy + 2y^2 - 2 + 0
 \\ \partial f/\partial x = 2xy + 2y^2 - 2
 \\ \partial f/\partial x = 2(xy + y^2)

\partial f/\partial y = x^2(1) + 2.2xy - 0 + 0
 \\ \partial f/\partial y = x^2 + 4xy

(3)

Equation du plan tangent : z - Z = \partial f/\partial x (X,Y)*(x - X) + \partial f/\partial y (X,Y)*(y - Y)

 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2((1)(1) + (1)^2)
 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2(1+1)
 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 4

\partial f/\partial y (1;1) = (1)^2 + 4(1)(1)
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = 1 + 4
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = 5

z - 2 = 4*(x - 1) + 5*(y - 1)
 \\ z - 2 = 4x - 1 + 5y - 1
 \\ 4x - 1 + 5y - 1 + 2 - z = 0
 \\ 4x - 1 + 5y + 1 = z
 \\ z = 4x + 5y

(4)
2(xy - y^2) = 0
x^2 + 4xy = 0

x^2 + 4xy ==> x(1 + 4xy) => x = 0 car 1 + 4xy > 0 donc x doit etre égal à 0 pour que 0(1 + 4(0)y) = 0

2(xy - y^2) ==> 2((0)y - y^2) ==> 2y - 2y^2 ==> 2(y - y) ..................

(5)

En coordonnéee (0;1), f(0;1) est égal à 1.
En coordonnées (0;0), f(0;0) est égal à 1.
En coordonnée  (1;1), f(1;1) est égal à 2 (donc (0;1) n'est pas un extremum maximum)

Le point critique (0;1) est donc un extremum minimum de f.

----------

Je n'y suis pas arrivé.. j'ai tout de même fini l'exercice mais c'est surement tout faux.

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 00:42

Correction : balises ltx

(4)
2(xy - y^2) = 0
 \\ x^2 + 4xy = 0

x^2 + 4xy ==> x(1 + 4xy) => x = 0 car 1 + 4xy > 0 donc x doit etre égal à 0 pour que 0(1 + 4(0)y) = 0

2(xy - y^2) ==> 2((0)y - y^2) ==> 2y - 2y^2 ==> 2(y - y) ..................

(5)

En coordonnéee (0;1), f(0;1) est égal à 1.
En coordonnées (0;0), f(0;0) est égal à 1.
En coordonnée  (1;1), f(1;1) est égal à 2 (donc (0;1) n'est pas un extremum maximum)

Le point critique (0;1) est donc un extremum minimum de f.

----------

Je n'y suis pas arrivé.. j'ai tout de même fini l'exercice mais c'est surement tout faux.

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 00:51

Dans la 1ere version de la dérivée de x, j'avais laissé le -2 sans le factoriser, mais arrivé au (4), je n'y suis pas arrivé avec le + 2 ..

Et je sais que du coup c'est faux, car il manque un -1 dans la parenthèse de la factorisation..

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 00:52

Correction : dans le dernier message, je me suis trompé de signe, c'est bien -2 que je voulais dire, et non +2

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 01:54

J'ai le moral à zéro là .. de ne pas avoir réussi..

Je vous laisse donc le soin de me dire que j'ai tout faux, que je suis nul etc..

A demain

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 12:38

Bonjour,

Donc je pense que mon (1) est juste (je l'ai repensé plusieurs fois et à priori le resultat reste toujours le même), je reprends donc à partir du 2 :

f(x,y) = (x)^2(y) + 2x(y)^2 - 2x + 1

\partial f/\partial x = 2x(y) + 2(y)^2 - 2 + 0
==> y est associé à x^2 donc il ne change pas, puis 2x donne 2(1) donc 2(y)^2 qui ne change pas puisqu'associé à 2x, enfin - 2 car 2x donne 2(1) donc 2.
\partial f/\partial x = 2xy + 2y^2 - 2
==> Tout est divisible par 2 donc :
\partial f/\partial x = 2(xy + y^2 - 1)

Maintenant :

\partial f/\partial y = (x^2)(1) + 2x(2y) - 0 + 0
==> x^2 ne change pas puisqu'associé à y, y devient 1 ; y^2 devient 2y et reste associé à 2x qui ne change pas ; le reste devient 0
\partial f/\partial y = x^2 + 2x(2y)

(3)

z - Z = \partial f/\partial x (X,Y)*(x - X) + \partial f/\partial y (X,Y)*(y - Y)

 \\ \partial f/\partial x = 2(xy + y^2 - 1)
 \\ \partial f/\partial y = x^2 + 2x(2y)

 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2((1)*(1) + (1)^2 - 1)
 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2(1 + 1 - 1)
 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2(2 - 1)
 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2
 \\ 
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = (1)^2 + 2(1)(2(1))
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = 1 + 2*2
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = 1 + 4
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = 5

Donc ..

z - 2 = 2*(x - 1) + 5*(y - 1)
 \\ z - 2 = 2x - 2 + 5y - 5
 \\ z = 2x + 5y - 5
 \\
--------

Jusque là, je pense que c'est bon.. j'ai essayé de bien tout séparer pour bien faire..

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 12:44

(4)

\partial f/\partial x = 2(xy - y^2 - 1
\partial f/\partial y = x^2 + 2x(2y)

2(xy - y^2 - 1) = 0
x^2 + 2x(2y) = 0

Et là je bloque car je ne vois pas comment factoriser la seconde fonction à deux variables, et encore moins la premiere..

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 13:52

bonjour
x^2 + 2x(2y) = {\red x}x + 4{\red x}y = ?
(sur tes brouillons n'hésite pas à réécrire en fluotant les choses communes ..)

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 14:03

mes corrections en bleu :

Citation :
Citation :
Pour t'exercer et te mettre en confiance, voici un cas raisonnablement simple.

On considère la fonction de deux variables : \boxed {  f(x,y) = x^2 y + 2x y^2 - 2x + 1  }

(1) Calculer f(0;0), f(0;1) et f(1;1)
(2) Calculer les dérivées partielles \partial f/\partial x et \partial f/\partial y
(3) Donner l'équation du plan tangent au point T de coordonnées (1,1,f(1,1))
(4) Déterminer les points critiques de f
(5) Quelle est la nature du point C de coordonnées (0,1,f(0,1)) ?


(1)

 \\ f(0;0) = (0)^2(0) + 2(0)(0)^2 - 2(0) + 1
 \\ f(0;0) = 0 + 0 - 0 + 1
 \\ f(0;0) = 1
 \\ 
 \\ f(0;1) = (0)^2(1) + 2(0)(1)^2 - 2(0) + 1
 \\ f(0;1) = 0 + 0 - 0 + 1 
 \\ f(0;1) = 1
 \\ 
 \\ f(1;1) = (1)^2(1) + 2(1)(1)^2 - 2(1) + 1
 \\ f(1;1) = 1 + 2 - 2 + 1
 \\ f(1;1) = 2

question (1) : tout bon !
(2)

\partial f/\partial x = 2xy + 2y^2 - 2 + 0
 \\ \partial f/\partial x = 2xy + 2y^2 - 2
 \\ \partial f/\partial x = 2(xy + y^2{\blue -1})

\partial f/\partial y = x^2(1) + 2.2xy - 0 + 0
 \\ \partial f/\partial y = x^2 + 4xy

à part ce 1 oublié dans la factorisation de la dérivée par rapport à x, c'est tout bon
(3)

Équation du plan tangent : z - Z = \partial f/\partial x (X,Y)*(x - X) + \partial f/\partial y (X,Y)*(y - Y)

 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2((1)(1) + (1)^2{\blue -1})
 \\ \partial f/\partial x (1;1) = 2(1+1{\blue -1})
 \\ \partial f/\partial x (1;1) = {\blue 2}

\partial f/\partial y (1;1) = (1)^2 + 4(1)(1)
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = 1 + 4
 \\ \partial f/\partial y (1;1) = 5

z - 2 = {\blue 2}\times (x - 1) + 5\times (y - 1)
 \\ z - 2 = {\blue 2}x - {\blue 2} + 5y - {\blue 5}
 \\ {\blue 2x + 5y - z -5=0}

(4)
2(xy - y^2{\blue -1}) = 0
 \\ x^2 + 4xy = 0

x^2 + 4xy = x({\blue x+4y} )  \Longrightarrow x = 0 ou x+4y=0 le reste est à reprendre, avec la bonne expression de la dérivée par rapport à x



(5)

En coordonnéee (0;1), f(0;1) est égal à 1.
En coordonnées (0;0), f(0;0) est égal à 1.
En coordonnée (1;1), f(1;1) est égal à 2 (donc (0;1) n'est pas un extremum maximum)

Le point critique (0;1) est donc un extremum minimum de f.

----------

Je n'y suis pas arrivé.. j'ai tout de même fini l'exercice mais c'est surement tout faux.

non, pas tout !

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 14:05

tu vois : à tête reposée, tu avais de toi même rectifié toutes ces erreurs !
ne compte pas sur moi pour te dire que tu es nul !

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 14:39

Citation :
(4)
2(xy - y^2{\blue -1}) = 0
 \\ x^2 + 4xy = 0

x^2 + 4xy = x({\blue x+4y} ) \Longrightarrow x = 0 ou x+4y=0 le reste est à reprendre, avec la bonne expression de la dérivée par rapport à x


donc ..

x(x + 4y) = 0

x = 0 obligatoirement (il doit manquer quelque chose .. une étape)

Donc on injecte dans 2(xy - y^2 - 1) = 0

(x = 0) : 2((0)y - y^2 - 1) = 0
(x = 0) : 2y^2 - 2 = 0  donc y = 1

(y = 1) : 2(x(1) - (1)^2 - 1) = 0
(y = 1) : 2x - 2 - 2 = 0
(y = 1) : 2x - 4 donc x = 2 (2x2 - 4)

On a donc x = 0 x = 2 et y = 0

--------

Je me suis arrêté là car j'ai du faire une boulette quelque part .. j'avais vu comment trouver les points critiques avec 2x(x - 1)(x + 1) (un truc comme ça) alors que là il y a un y dans la fonction, ce qui fait que ça me fais faire des erreurs..

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 14:40

Correction : ajout de balises

donc ..

x(x + 4y) = 0

x = 0 obligatoirement (il doit manquer quelque chose .. une étape)

Donc on injecte dans 2(xy - y^2 - 1) = 0

(x = 0) : 2((0)y - y^2 - 1) = 0
 \\ (x = 0) : 2y^2 - 2 = 0  donc y = 1

(y = 1) : 2(x(1) - (1)^2 - 1) = 0
 \\ (y = 1) : 2x - 2 - 2 = 0
 \\ (y = 1) : 2x - 4 donc x = 2 (2x2 - 4)

On a donc x = 0 x = 2 et y = 0

--------

Je me suis arrêté là car j'ai du faire une boulette quelque part .. j'avais vu comment trouver les points critiques avec 2x(x - 1)(x + 1) (un truc comme ça) alors que là il y a un y dans la fonction, ce qui fait que ça me fais faire des erreurs..

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 14:41

x = 2 ( car 2*2 = 4 )

C'était mal sorti

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 15:26

pas encore au point !

et je n'avais pas fait attention : dans la question (4), tu avais recopié une des dérivées partielle avec un signe inversé, je le mets en rouge
reprenons : tu veux avoir en même temps les deux égalités suivantes :
2(xy {\red +} y^2 -1) = 0
 \\ x^2 + 4xy = 0

déjà, la première on peut la simplifier un peu : on divise tout par 2, à gauche comme à droite, et en même temps, je réécris la forme factorisée de la seconde :

xy + y^2-1 = 0
 \\ x(x + 4y) = 0

la deuxième donne x = 0 ou x+4y = 0

premier cas :


x=0.
la première équation devient alors y^2-1 = 0, ce qui donne y^2 = 1 donc y = 1 ou y = -1 (soit tu sais que l'équation x² = A a deux solutions qui sont plus ou moins racine de A, soit tu commences par factoriser  y^2-1 = (y-1)(y+1) avec l'identité remarquable qu'on a révisée hier)

On a déjà deux points critiques : (0; -1) et (0;1)


deuxième cas :

x + 4y = 0, ce qui signifie que x = -4y
on reporte dans la première équation :
(-4y)y + y^2-1 = 0 qui donne -3y^2 -1 = 0 : c'est impossible, car un carré est toujours positif, donc -3y^2 -1 sera toujours inférieur ou égal à -1, donc jamais égal à zéro.

pas de nouveau point critique

Posté par
LeDino
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 15:45

Bonjour tout le monde .

Salutations amicales à lafol et remerciements pour son aide sur la correction .

Citation :
Je vous laisse donc le soin de me dire que j'ai tout faux, que je suis nul etc..

Regardons les choses objectivement.

Tu as commencé il y a environ trois jours seulement à étudier ce problème, avec une méconnaissance totale du sujet et des lacunes considérables dans tes acquis mathématiques.

Sur le sujet relativement simple, mais néanmoins complet, que je t'ai donné, tu as dans un "premier jet", rédigé une réponse avec une (petite) erreur de calcul et encore des lacunes (sur les dernières questions), mais avec une bonne démarche et des résultats presque valables.

Si on adopte le barème suivant (approximatif, mais pas complètement idiot) :
Q1. Calculs de valeurs de f (1 point)
Q2. Calcul des deux dérivées partielles (~ 2,5 points : selon le complexité)
Q3. Equation du plan tangent (valeur Z, pentes px et pz, équation) : (~ 2 points)
Q4. Calcul des points critiques (2 équations, résolution, discussion) : (~ 2,5 points selon complexité)
Q5. Nature d'un des points (reconnaître s'il est critique, et si c'est un extrémum) : (~ 2 points)

... alors tu aurais obtenu approximativement une note proche de la moyenne.
C'est déjà en soi un quasi exploit.

Mieux : en reprenant toi même, tout seul, tes propres calculs, tu as repéré et corrigé ton erreur !!! Seul.
Avec ta deuxième copie, tu aurais approximativement obtenu la note suivante :
1/1  +  2,5/2,5  +  2/2  +  1/2,5  +  0  =  6,5/10

Tu es donc déjà virtuellement à 65% de l'optimum.
Et si on considère que 8/10 est la cible, tu es à 80% de cette cible.

Les mises en garde :

(1). Dans ton calcul de dérivées tu t'es planté.
Je t'avais pourtant prévenu que c'est une partie qui demande beaucoup de vigilance.
Il vaut vraiment mieux refaire le calcul deux voire trois fois.
D'ailleurs, en le refaisant, tu as trouvé ton erreur.
Il ne faut plus te tromper sur une erreur de calcul : c'est trop bête de faire tous ces efforts pour trébucher sur une faute d'inattention.
OK ?

(2). Dans le même ordre d'idée, il faut aborder le sujet avec sérénité, sans précipitation, en posant bien les choses. Tu as déjà fait des progrès dans ta démarche et la clarté de tes explications (sur les sujets que tu comprends mieux). Il faut poursuivre dans cette voie. Un conseil : mets toi toujours dans les meilleures conditions pour travailler (plan de travail rangé, propre, avec juste le matériel nécessaire, calme, petite musique si ça te détend ...).

(3). Il te reste des lacunes très importantes (ce qui est normal à ce stade).
En particulier, sur le problème les questions Q4 et Q5 ne sont clairement pas maîtrisées.

Pour la Q4, tu peux et dois y arriver.
Pour cela, on va essayer de finir proprement Q4 sur cet exercice relativement simple.
Ca permettra de "dédramatiser" cette question.

Ensuite il faudra faire un travail de fond plus important sur les systèmes d'équations à deux inconnues, avec des factorisations, et des termes du second degré (c'est en gros le niveau de complexité que tu devrais rencontrer dans les problèmes qui pourraient t'être posés). Très honnêtement, vu ton potentiel qui est indiscutablement prometteur, il me semble que c'est largement à ta portée. Mais il faudra de la patience et ne pas te précipiter pour tenter d'ingurgiter comme une éponge sans vraiment comprendre. Ce travail il faudra le faire de toutes façons, parce qu'il est indispensable pour ce problème mais aussi pour des milliers d'autres. Même le problème statistique de la première partie peut nécessiter des résolutions d'équations...

Pour la question 5, j'ai réfléchi et je pense à présent qu'il faut pour le moment faire une quasi impasse.

En effet, les "astuces" que je t'ai données pour tenter d'arracher un demi point au correcteur, sont des palliatifs médiocres, et dont je ne suis finalement pas certain qu'ils n'agacent pas plus qu'il ne séduisent. Pour l'instant, mettons cette question de côté. Surtout parce qu'en plus, tu ne connais pas la terminologie et tu n'as pas conscience que la question est complexe et délicate, en particulier à cause de la possibilité d'avoir  des extrémums LOCAUX (par exemple un creux local, qui n'est pas le minimum de toute la fonction...).

Mais pour plus tard, je pense que j'ai un plan B à te proposer qui est pas mal, voire un plan C qui serait top.

Le plan B, revient à "expliquer" sur ta copie ce qu'il faudrait faire. Le correcteur se demandera peut-être pourquoi tu le dis mais ne le fais pas ... Mais il se peut qu'il te donne un petit quelque chose en récompense de cet effort. Nous y reviendrons, mais expliquer ce qu'il faut faire n'est pas si difficile dans les grandes lignes, et tu peux l'apprendre par cœur.

Cela ressemblerait à ceci ("plan B") :

On cherche la nature du point C(0,1).
Au point C(0,1) les dérivées partielles sont nulles :
\partial f / \partial x f (0,1) = 0
\partial f / \partial y f (0,1) = 0

Donc C est un point critique.

Un point critique est un point de la surface de f où le plan tangent est horizontal. Cela peut être soit :
- un minimum (local ou non)
- un maximum (local ou non)
- un col ou "point selle" (pas un extrémum)

En observant le comportement de f(x,y) au voisinage du point critique C, on peut dire de quelle nature il est.

STOP

J'arrête ici pour le plan B, parce que pour l'instant c'est suffisant et que ça dit des choses que tu devrais comprendre.
Rien qu'avec ça, il est tout à fait possible que tu prennes 0,5 points voire 1 point tout entier sur environ 2,5 points que devrait valoir cette question.
Donc ça vaut le coup.

Pour un plan B+ voire un plan C : on verra ça plus tard.

En résumé de tout ça :
En rodant ce que tu sais faire et en t'entraînant sur des difficultés croissantes, tu dois pouvoir régulièrement obtenir une note proche de 7/10 (voire mieux en t'améliorant sur Q4, voire sur Q5). Le but étant d'être capable à terme de le faire sur un problème difficile et en situation réelle.

Je maintiens que c'est faisable.
Il y a des compléments à voir ensemble sur Q4 et Q5.
Il faut s'exercer en difficulté croissante.
Il faut parallèlement travailler les équations.

Questions subsidiaires :
Combien de temps pour l'examen ?
Le temps est-il un souci pour toi ?
Pouvez-vous avoir des fonctions autres que polynomiales ?
... du genre fractions, logarithmes, exponentielles, sinus, composées de fonctions...

Posté par
LeDino
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:00

@SAMYEL : Priorité à l'action : d'abord finir le travail en cours avec lafol .
Tu répondras à mon post "tactique" plus tard.

Posté par
LeDino
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:08

@SAMYEL : Pour l'instant tu es OK pour Q1, Q2 et Q3.

Pour Q4, lis attentivement la correction parfaite de lafol 15h26.
Essais de bien la comprendre.
- Si tu la comprends, refais la de ton côté (seul si possible, ou en jetant un œil sur la correction si besoin).
- Si tu ne la comprends pas : tu poses des questions.

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:20

Citation :
Questions subsidiaires :
Combien de temps pour l'examen ?
Le temps est-il un souci pour toi ?
Pouvez-vous avoir des fonctions autres que polynomiales ?
... du genre fractions, logarithmes, exponentielles, sinus, composées de fonctions...


A l'examen, nous avons 1h30 pour composer. Attention, lorsque je résoud un exercice comme celui que tu m'as donné, cela ne me prends qu'une dizaine de minutes (hors relecture).

En d'autres termes, je compte proceder comme ceci :
- 10 min pour un premier jet sur brouillon
- 10 min de relecture/rectification sur brouillon
- 10 min de mise en page + recopier le brouillon au propre en faisant attention aux signes et parenthèses, ainsi qu'aux puissances.

Il ne faut pas oublier que j'ai également une partie statistique à faire (que je posterai plus tard sur le forum afin que nous voyons ça) et cette partie me prends une quarantaine de minutes (relecture comprise)

Celà nous donne une moyenne d'1h10 utilisés. SAUF que lorsque je compose (surtout en maths), j'ai des "problemes" de confiance en moi.

Je vois une fonction avec des 4x^3 et y^2x et ça me bloque un instant avant de me dire dans ma tête "Bon, je vais commencer par ça". Donc avec 3 exercices, on peux dire que je passe 15 min à "rêvasser" pour savoir comment débuter un exercice et les doutes qui me viennent au milieu de l'exercice en me disant .. "Non ? J'ai bien fait ?"

Donc 1h25 pour tout faire, je pense que ça ira. De toute façon, une fois que nous aurons explicité la partie fonction (quasi terminée) et la partie statistiques de l'annale que j'ai, j'en ferais une autre ENTIEREMENT SEUL et je posterais sur le forum non seulement le temps que j'ai mis, mais aussi ce que j'ai fais afin que vous puissiez "hypothétiquement" me noter et voir si le pari est tenu ou non !

------

Pour ce qui est des log et exponentielles, c'est en L2. Même chose pour les lim.

D'ailleurs en juin, j'aurai également un examen de statistiques en L2 à passer. Celui ci par contre est bien plus complexe et je n'aurai pas le temps de tout voir donc je vais faire de mon mieux pour le compenser avec d'autres matières.

Le plus important c'est les maths de L1 qui me bloque, pour ce qui est des statistiques de L2, j'essaierai de rattraper mon retard cet été pour commencer la L3 (on a encore des maths appellés "calculs economiques appliqués") de la bonne manière.

------

Sinon, je suis content d'avoir pu déjà avoir la moyenne à cette partie, malgré l'erreur que j'ai faite. Il faut dire qu'après l'avoir posté, je me suis relu et ai remarqué l'erreur. Je voulais tout remettre directement mais je me suis dis que je ferais bien mieux de dormir et de poster une rectification ce matin.

Pour ce qui est du Plan B, et C, nous verrons comment ça se passera, car si j'arrive à comprendre le 4, et à l'utiliser, à priori le 5 ne devrait pas poser de problème !

Posté par
LeDino
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:27

OK.
Alors commence par terminer le travail commencé avec lafol sur Q4.
Etudie soigneusement sa démonstration qui est bien décomposée.

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:35

Lafol :

Pour les deux dérivées partielles et leurs factorisations, j'ai compris :

Au lieu de tout mettre en facteur, tu as simplement divisé et allégé la 1ère fonction : 2(xy + y^2 - 1) ==> xy + y^2 - 1

Pour la seconde fonction, tu as fais passer le x en facteur et donc "annulé" le carré dans un premier temps, puis supprimé le x du 4xy ce qui a donné x(x + 4y) = 0 ce qui, en effet, donne x = 0 pour le premier terme "facteur", et x + 4y = 0 pour la "parenthèse", ce qui donne x = -4y en le basculant de l'autre coté du miroir.

Jusque là : OK !

-----

Pour le premier cas, on remplace x par 0

Donc (0)y + y^2 - 1 = 0
==> y^2 - 1 = 0
==> y^2 = 1 et soit donc "applique" y au carré du coté gauche et ca nous laisse y = 1
==> SOIT on passe le "carré" qui est toujours positif de l'autre coté, et comme tout ce qui est positif devient négatif de l'autre coté du mirroir, ca nous fait y = -1 (du moins, dans ma tete)

En considérant donc x = 0, y = 1 et y = -1

Ca nous donne les points critiques (0;-1) et (0;1).

----

Second cas, on remplace notre x par -4y comme démontré plus haut

-4y(y) + y^2 - 1 = 0
donc -4y^2 + y^2 - 1 = 0
donc -3y^2 - 1 = 0 : un carré est toujours positif donc -3y^2 ==> Pas de points critiques.

----

Je pense avoir compris ^^"

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:41

ton histoire de carré de l'autre côté du miroir m'inquiète un peu : peut-être que l'image mentale que tu te fais de la chose est correcte, mais je n'en suis pas certaine.
pour voir pourquoi 1 et -1 marchent, il suffit de penser que 1^2 = 1 et que (-1)^2=1 aussi
pour voir qu'il n'y a pas d'autre possibilité, le mieux reste d'écrire y^2-1 = (y-1)(y+1), donc y^2=1 revient à (y-1)(y+1)=0, donc par la règle du produit nul, à y-1 = 0 ou y+1 = 0 donc in fine à y = 1 ou y = -1.

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:42

Le seul probleme que j'ai maintenant, c'est pour le 4, un probleme d'ordonnancement des étapes..

Je sais qu'on commence par l'affirmation "dérivée partielle x = 0" et idem pour celle d'y.

Je sais qu'ensuite on voit avec la plus simple si on peux la factoriser et ensuite trouver soit un x, soit un y (qui est souvent égal à 0) et un autre x ou y de la parenthèse.

Ensuite... sans relire vos démonstrations, j'ai du mal à me souvenir de comment procéder.

Je crois qu'il faut d'abord appliquer le x ou y trouvé via le FACTEUR.
Puis appliquer le x ou y trouver via la PARENTHESE.

Afin de trouver les x ou y qui peuvent s'ajouter au x ou y trouvé auparavant afin de trouver les points critiques.

C'est un peu farfelu, et dur à comprendre, désolé mais j'ai pas un esprit synthétique :s

Posté par
LeDino
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:43

Citation :
Je pense avoir compris ^^"
La classe !
C'est lafol qui va être contente !

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:46

Oui je vois, grosso modo :

Y^2 - 1 = 0
donc (y - 1)(y + 1) = 0
donc dans la premiere parenthèse : y - 1 = 0 ==> y = +1
donc dans la seconde parenthèse : y + 1 = 0 ==> y = -1

Donc sachant x = 0, y = +1 et y = -1

Alors (0;-1) et (0;1) sont des points critiques.

Compris !

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:48

en fait tu veux que les x, y trouvés fonctionnent dans les deux équations à la fois : tu commences par la plus simple des deux, qui te donne différents cas.
et ensuite dans chacun de ces cas, tu reportes ce que l'équation simple t'a fournit dans l'équation compliquée, pour voir ce qu'elle va cracher.

ça peut aussi bien être une équation simple qui te dit que x peut être égal à 3, ou alors y égal à 2 ou à -2 : ça te ferait trois cas à étudier :
premier cas que devient l'équation compliquée avec x=3 ? il faudra lui faire cracher les valeurs possibles pour y,
deuxième cas, que donne l'équation compliquée quand y =2 : il faudra voir ce qu'elle donne pour x, et
dernier cas, que donne l'équation compliquée si y = -2, et là aussi, il faut en sortir les valeurs possibles de x
à la fin, tu aurais trois sortes de points critiques : des (3; ??), des (??; 2) et des (?? ; -2)

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:49

16:46 : 10sur10 !

Posté par
LeDino
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:49

Je dois faire un break.
Bon courage si tu continues dans la foulée.

Axes de travail :

- Q5 : je suggère de différer à plus tard : le sujet est d'une complexité que tu ne soupçonnes pas.
C'est faisable mais il faut qu'on l'aborde par le coté le plus accessible.
Dans le post que j'ai ouvert pour toi, lafol a donné une approche qui devrait être abordable pour toi : Un exemple d'extremum de fonction (pour SAMYEL).
Mais je suggère de voir ça un peu plus tard.

- Q4 : il faut que tu consolides ce que tu as compris sur mon exercice.
Peut-être pourrais-tu tenter de revoir l'exercice de Lolo ?
Ou mieux : ton exercice ? Il est plus complexe... mais faisable.

- Les bases : voir un cours sur l'équation du second degré pour être incollable sur le sujet.

...

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 16:49

j'ai oublié les : : autour de

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:04

Compris !

En gros, si l'équation simple donne un x, lorsque j'applique le x dans l'équation compliquée, je cherche un y pour que ca me donne un point critique (x,y).

Si l'équation simple donne un x et un ou plusieurs y, je cherche un y avec le x trouvé pour un point critique (x,y).. PUIS j'utilise chaque y pour trouver un x dans l'équation compliquée, afin de trouver les x respectifs aux y trouvés dans l'équation simple.

C'est ça ?

----

D'accord LeDino, merci pour tout et profite bien de ta soirée hors des maths ! Je te dis surement à demain ! Et j'essaierai de voir tout ça ! (surtout pour la question 4, essayer de mémoriser la démarche).

Instinctivement j'arrive maintenant à faire les points 1) 2) 3) sans reflechir et le début du 4) (voir tout le 4 avec l'explication de lafol !)

----

Ce dont j'aurais besoin maintenant, ce serait d'un nouvel exercice avec les questions 1 a 4 (on laisse le 5 de coté) que je ferais à tête reposée et de jour . Mais bon, c'est pas grave, je vais déjà essayer de comprendre ça et on verra plus tard pour l'application sur un nouvel exo (que je ferais sans fautes j'espere !)

----

Et je suis déjà hyper content d'arriver à faire les points 1) , 2) et 3) sans trop d'erreurs ! Un 5 - 6/10 ca me suffirait déjà grandement !

Maintenant il ne reste également plus qu'à esperer que sur la partie statistiques (ou j'avais eu 5/10 l'année derniere), j'arrive à maximiser ma note.. car 5 + 5(ou 6) = 10 voir 11/20, bien loin du 13.5 qu'il me faudrait ! :/

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:24

pour la résolution du système, oui, c'est bien ça l'idée
je vais fouiller dans mes archives, j'en ai, des exercices de ce genre, je vais t'en trouver un pour demain : tu as des disponibilités en journée ou tu as cours ?

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:32

J'ai validé le semestre 2 de L2 et celui de L1. Donc je n'ai absolument rien à faire jusqu'en juin.

Je passe mes journées à améliorer mes maths avec vous à vrai dire, car pour avoir un 13.5 je dois avoir un 6.5 et un 7 dans les parties stats et fonctions, SI il ne change pas le type de partiel.

Il se peux qu'au lieu de demander la nature du point, il ajoute des questions du genre de :  


- Déterminer le hessien f de (0;0), peut-on  conclure sur la nature de ce point ?
- Pour x réel, calculer f(x;x) et f(x, -y), peut-on cette fois ci déterminer la nature de (0;0) ?  


==> Ces questios sont tirés de la partie fonctions du partiel de l'an dernier.

De plus, j'ai vu passer le "théorème d'Euler" dans un des partiels, mais ça remonte à il y a 3 ans, donc surement plus d'actualité..

----

Autrement, en TD on a eu beaucoup d'applications géométriques en partie fonctions .. donc j'espere ne pas en avoir sinon c'est foutu !

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:34

Oh et concernant mes disponibilités, il ne faut pas oublier qu'à compter du 15 avril au soir, je commencerais à étudier pour mes partiels de L2 Semestre 1, que je n'ai pas encore commencé, et dont je ne me souviens que vaguement .. (je n'ai pas passé les partiels de janvier car j'avais décidé d'arreter les cours avant de voir que je pouvais éventuellement valider les maths de L1, ce que je pensais impossible)

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:36

Et merci pour l'exercice, ça va m'aider !

Si tu peux éventuellement établir un barême comme l'avait fait LeDino, ca pourrait me permettre de voir si je progresse ou pas ^^" à voir si ça ne te dérange pas trop Lafol :s

Posté par
macontribution
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:38



Bonjour

POUR SAMYEL06

Si je devais résumer en un seul mot  "C O N F I A N C E  ".

Je connais "très" bien la filière que tu as suivi : BEP - BAC PRO -  et sans doute après BTS ou IUT.
Les mathématiques de cette filière concernent, j'utilise ce terme sous ma propre responsabilité, essentiellement des mathématiques appliquées.

Je comprends, et je dirais même, je partage tes problèmes.

Je dois avouer que les exercices figurant dans les interventions précédentes me dépassent (quelques fois).

Je peux t'apporter mes connaissances uniquement en "mathématiques financières".

Si tu avais aussi des questions à poser sur la comptabilité (bilan, liasse fiscale,contrôle gestion, audit interne, expertise, commissariat aux compte)
ou sur la législation (uniquement) française (fiscale, commerciale, sociale, sur les sociétés) je me ferai un plaisir de trouver la solution adéquate.

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:43

Merci macontribution, je prends note !

J'ai effectivement de la comptabilité au programme de L2 que je devrais reviser, donc au besoin, je ferais appel à tes lumières, c'est très gentil à toi de te proposer

Pour ce qui est des maths, pour le moment ça se passe plutot bien avec LeDino, Lafol et Delta-B qui m'ont pas mal aidé et qui je l'espère, continueront encore un peu !

Et en effet, c'était vraiment des mathématiques appliquées en BEP comptabilité, mais j'ai fais un BAC ES au lieu d'un BAC PRO et suis directement allé en faculté d'économie par la suite, donc pas de BTS/DUT (contrairement à mes collègues de BEP), m'enfin, ce n'est pas le sujet !

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:45

le lundi, je suis dispo toute la journée : on aura tout le temps de faire un ou plusieurs exercices, alors, c'est super !

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 17:49

Oui ! Parfait même je dirais ! Je vais donc un peu revoir les exercices passés (surtout le 4 pour bien mémoriser l'enchainement) et ça devrait aller pour demain !

J'irais aussi voir sur internet si je ne trouve pas un cours sur la factorisation car j'ai peur qu'en partiel, arrivant au 4, je ne factorise pas assez, ou mal, et que du coup tout soit faussé..

M'enfin, je vais voir ça ! (et aussi peut etre me reposer un peu car depuis 3 jours je n'arrete pas côté maths)

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 19:30

News spéciale :

Je tiens ça d'une fille qui est allée au partiel de Janvier :

Citation :
C'était une analyse de fonction complète jusqu'à l'hessien et le gradien
Avec le théorème de l'Euler et fonction homogène ou non


Je devrais avoir le sujet de janvier 2014 d'ici la fin de semaine normalement..

Posté par
Jygz
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 20:07

Il faudrait renommer le topic en "Cours particulier à l'oeil"

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 23-02-14 à 21:36

Oui c'est vrai que j'ai eu beaucoup de chance que LeDino, Lafol et Delta-B m'aient aidé !

Si j'ai ma L1, ce sera grace à eux, et je les en remercie !!

Cela dit, ces "cours particuliers" comme tu les appelles, peuvent répondre aux questions de toutes les personnes ayant des problemes de compréhension des fonction à deux variables, des dérivées partielles, des points critiques, de l'équation du point tangeant et de la nature d'un point.

Je vois ça comme une version Wikipedia des maths de L1 AES personnellement !

Donc voila, j'ai beaucoup de chance c'est vrai !

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 24-02-14 à 01:45

Admettons que LeDino ait demandé la matrice hessienne de (1;0)

On pars des dérivées partielles pour déterminer les dérivées secondes :

\partial f/\partial x = xy + y^2 -1
 \\ \partial f/\partial y = x(x + 4y)

\partial^2f/\partial x^2 = (1)y + 0 - 0
 \\ \partial^2f/\partial x^2 = y

\partial f/\partial y = x(x + 4y) ou plutot x^2 + 4xy

\partial^2f/\partial y^2 = 0 + 4x(1)
 \\ \partial^2f/\partial y^2 = 4x

On a donc :

\partial^2f/\partial x^2 = y
 \\ \partial^2f/\partial y^2 = 4x
 \\ \partial^2f/\partial x \partial y = 2x + 4y
 \\ \partial^2f/\partial y \partial x = x - 2y
-------------
J'ai fais la dérivée partielle de x DANS la dérivée partielle de y pour \partial^2f/\partial x \partial y et la dérivée partielle de y DANS la derivée partielle de x pour \partial^2f/\partial y \partial x.

Ca nous fait :

\partial f/\partial x = xy + y^2 -1
 \\ \partial^2f/\partial y \partial x = x(1) + 2y + 0
 \\ \partial^2f/\partial y \partial x = x + 2y

\partial f/\partial y = x(x + 4y) ou plutôt x^2 + 4xy
\partial^2f/\partial x \partial y = 2x + 4(1)y
 \\ \partial^2f/\partial x \partial y = 2x + 4y
------------
La matrice hessienne pour (1;0) est :
H = \left( \begin{array}{cc}0     2
 \\   1     4  \end {array} \right)
------------
H = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end {array} \right)

J'ai utilisé ça (pris sur le topic que LeDino a fait pour moi), j'ai pris mes résultats de dérivées partielles et j'ai remplacé les x et y par (1,0) quand il y avait des x ou y dans les résultats de dérivées secondes.
------------

Je ne pense pas que ce soit juste mais sait-on jamais .. ! J'avais du temps à perdre ce soir et de l'énergie en trop, donc même si c'est tout faux, au moins j'aurai fais quelque chose de ce surplus de temps !

En tout cas (si par miracle c'est juste), c'est un peu dur (surtout s'il faut se souvenir de l'ordonnancement des dérivées secondes dans la matrice.. !)

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 24-02-14 à 01:50

Oh et :

Les signes étant positifs dans diagonale : [tex]0 et 4, alors le point (1;0) est un extremum minimum[/tex].

Voilà, maintenant j'ai clos la boucle !

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 24-02-14 à 01:51

Correctif :

Oh et :

Les signes étant positifs dans diagonale : 0 et 4, alors le point (1;0) est un extremum minimum.

Voilà, maintenant j'ai clos la boucle !

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 24-02-14 à 09:42

Bonjour

tu as repris seulement la moitié de la dérivée partielle par rapport à x : quand on a résolu l'équation, on a pu diviser par 2, parce que demander \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0, ou \frac12\dfrac{\partial f}{\partial x} = 0, ça revient au même, mais \dfrac{\partial f}{\partial x} est bien toujours égale à 2(xy+y^2-1)

Tu avais un moyen de te rendre compte de ton étourderie : pour la plupart des fonctions (en tous cas toutes celles que tu seras amené à manipuler), les deux dérivées partielles secondes "croisées", \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} et \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}, sont identiques

ça te permettait d'ailleurs de détecter une autre étourderie, sur les signes celles là, que tu as rectifiée plus loin dans ton post

Posté par
lafol Moderateur
re : Maths L1 AES 24-02-14 à 09:45

après pour se souvenir de l'ordre dans la Hessienne, ce n'est pas compliqué : c'est l'ordre alphabétique, en ligne comme en colonnes : x puis y
la première ligne contient des dérivées par rapport à x, la deuxième par rapport à y, pareil pour les colonnes : donc à l'intersection première ligne et première colonne, que du x, etc

H = \begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{pmatrix}

Posté par
SAMYEL06
re : Maths L1 AES 24-02-14 à 09:50

Woops ! Oui autant pour moi ! J'avais completement oublié qu'on avait tout divisé par deux pour simplifier un peu :s

Autant pour moi !

Et pour la matrice, c'est bon j'ai appris l'ordre

D'abord dérivée partielle de x, puis derivée partielle de x dans \partial f/\partial y
Puis en dessous dérivée partielle de y, puis dérivée partielle de y dans \partial f/\partial x

Compris !

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