Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Maths spé devoir maison

Posté par Sandra1002 (invité) 13-09-04 à 22:58

J'ai l'énoncé suivant :
1) déterminer tous les couples d'entiers 'a;b) tels que 4a²-b²= 20. Justifier.

2) Un entier naturel s est tel que l'équation x²-sx+2001= 0 admette 2 solutions entières.
a) Calculer la somme et le produits de ces 2 racines (ça g réussi mais je le mets car je pense qu'il y a une relation entre la question a) et b) )

b) quelles sont les valeurs possibles pour s?

Est-ce que quelqu'un peut m'aide? Je ne demande pas une réponse mais juste un coup de pouce.
Sandra

Posté par guille64 (invité)re : Maths spé devoir maison 14-09-04 à 00:05

Bonjour sandra

1) déterminer tous les couples d'entiers 'a;b) tels que 4a²-b²= 20. Justifier.

Penses pour cette question à te ramener à l'identité remarquable (x²-y²) = (x+y)(x-y)

Dés lors remarque que les couples d'entiers tels que x*y=20 ne sont pas nombreux!
il ya 4*5, 2*10... et puis c'est tout

à suivre...

Posté par guille64 (invité)re : Maths spé devoir maison 14-09-04 à 02:19

Suite...
J'ai peur de pas être d'une grande aide, mais fait pour fait...

2) Un entier naturel s est tel que l'équation
x² - sx + 2001 = 0 admette 2 solutions entières.
a) Calculer la somme et le produit de ces 2 racines (ça g réussi mais je le mets car je pense qu'il y a une relation entre la question a) et b) )
b) quelles sont les valeurs possibles pour s?

On cherche donc les deux racines x1 et x2:
= (-s)² - 4*2001

On a :
x1 = (-s + (s² - 8004))/2
x2 = (-s - (s² - 8004))/2

On a donc
x1 + x2 = -s
x1 * x2 = 2001
Comme tu l'as déjà certainement trouvé
Ceci est un résultat "classique" des polynômes du second degrès du type x + bx + c =0 admettant 2 racines réelles x1 et x2 :
x1 + x2 = b
x1 * x2 = c

Pour répondre au petit b), je vois 2 possibilités:

Pour avoir deux racines entières (avec s un entier naturel) il est nécessaire que :
D'une part : s² - 8004 ait une racine entière
Or on sait que s² > 8004  ns quoi <0 et il n'y aurait pas de racines réélles
autrement dit, s étant entier, s > 90
Donc on peut raisonner par itération en faisant
(91² - 8004) puis
(92² - 8004) puis...
...
et on trouve s= 98 (x1=69 et x2= 29) et s=110 (x1=87 et x2=23)  
Mais on ne peut savoir s'il existe d'autres solutions...

D'autre part
On peut partir du résultat du a)
x1 * x2 = 2001
on sait que x1 et x2 sont positifs
x1 * x2 = 2001 sachant que x1 différent de x2
on doit avoir x1 < 2001 ( = 44.7)
on peut donc fonctionner par itération de 1 à 44 et faire la division 2001/1 puis 2001/2 puis... et vérifier à quel moment on obtient un entier.

On obtient que 2 couples d'entiers :
x1 =29 et x2=69 (donc s=98)
x1 =23 et x2=87 (donc s=110)
et de là on est sûr qu'il n'existe pas d'autres couples d'entiers possibles:
Donc s ne peut prendre que 2 valeurs : 98 et 110...

Voilà
Probable que tu sois déjà arrivée aux mm conclusions!!
à bientôt

Guille64

Posté par Sandra1002 (invité)Merci 14-09-04 à 08:03

Merci pour votre aide, je vais essayer de me débrouiller avec les éléments que vous m'avez donné et si je suis encore bloquée je reviendrais.
Sandra

Posté par guille64 (invité)re : Maths spé devoir maison 14-09-04 à 14:24

Coucou donc,

suite ton mail
Tout d'abord...
OUI BIENSUR tu as raison il ya effectivement le couple
x1 = 667 et x2 = 3 !
D'où s = 670
Il m'a échappé! merci de l'avoir relevé!

Je crois qu'a priori après on devrait avoir fait le tour...
avec pour rappel :
x1 =29 et x2=69 (donc s=98)
x1 =23 et x2=87 (donc s=110)

Pour ce qui est du 1), pour être plus explicite :1) déterminer tous les couples d'entiers 'a;b) tels que 4a²-b²= 20. Justifier.

---> Penses pour cette question à te ramener à l'identité remarquable (x²-y²) = (x+y)(x-y)

je veux dire par là :
4a²-b² = (2a - b)(2a + b)

il s'agit donc de résoudre (2a - b)(2a + b)=20
Posons X = 2a - b   et Y = 2a + b
X et Y sont deux entiers puisque a et b sont entiers
et X<Y
Il faut donc résoudre l'équation à 2 inconnus :
XY = 20

---> Les couples d'entiers tels que XY = 20 ne sont pas légions : on a (1;20), (2;10) et (4;5)

Remplaçons X et Y par les valeurs des couples identifiés et résolvons les 3 systèmes de deux équations à 2 inconnus qui en résultent... Nous ne retiendrons que le(s) système(s) qui admette(nt) des racines entières:

Pour (X,Y) = (1,20)
2a - b = 1  
2a + b = 20
alors (a,b) = (21/4,19/2)

Pour (X,Y) = (2,10)
2a - b = 2  
2a + b = 10
alors (a,b) = (3,4)

Pour (X,Y) = (4,5)
2a - b = 4  
2a + b = 5
alors (a,b) = (9/4,1/2)

Donc il n'y a qu'un seul couple d'entier (a,b)=(3,4) tel que 4a²-b²=20

Voilà
Dire si pb
à bientôt

Guille64

Posté par guille64 (invité)re : Maths spé devoir maison 14-09-04 à 14:36

Je manque à tous les devoirs de courtoisie (voire galanterie) avec mon "Coucou donc"...
Je réitére : il faut remplacer "Coucou donc" par
"Bonjour Chère Sandra"

Voilà, j'espère que l'erreur est réparée

à bientôt

Guille64

Posté par Sandra1002 (invité)Encore merci ... 14-09-04 à 17:14

... de m'avoir expliqué un truc que j'avais pas compris.
Si j'ai d'autres problèmes avec d'autres devoirs je ferai appelle a toi car tu m'as été d'une grande aide.
Sandra

Posté par Sandra1002 (invité)re : Maths spé devoir maison 14-09-04 à 21:50

Juste une rectification, il existe 4 couples (3;4)(3;-4) (-3;4) et (-3;-4). Tu avais oublié les couples suivants : (20;1) (-1;-20) (-20;-1) (-4;-5) (5;4) (-5:-4) (-2;-10) (10;2) et (-10;-2). Peut etre que tu ne les avais pas oublié... lol

Posté par guille64 (invité)re : Maths spé devoir maison 15-09-04 à 09:39

coucou Sandra,

Je n'ai fait que respecter ton énoncé tel que je l'ai compris... Il est question de couples d'entiers et par entier j'ai entendu "entier naturel" (ce qui me paraît être le plus usuel) : autrement dit les entiers de soit positifs ou nuls.
Maintenant s'il s'agit d'entiers relatifs soit l'ensemble , alors oui il y a tous les couples d'entiers relatifs dont tu parles (dont seuls (3;4)(3;-4) (-3;4) et (-3;-4) sont solutions de 4a²-b²=20)!

Dans ce cas pour ta question 2) s'il s'agit aussi d'entiers relatifs :
Il y a toutes les solutions suivantes pour s :
s=98 soit x1 =29 et x2=69
s=110 soit x1 =23 et x2=87
s=670 soit x1 =3 et x2=667
s=2002 soit x1 =1 et x2=2001
s=-98 soit x1 =-29 et x2=-69
s=-110 soit x1 =-23 et x2=-87
s=-670 soit x1 =-3 et x2=-667
s=-2002 soit x1 =-1 et x2=-2001

Avec donc entre autre les solutions pour s=670 (que tu as trouvé) et s=2002 que j'avais omis d'indiquer lors de mon premier post (si c'est ce que tu voulais relever!)

Voilà,
à bientôt
Bon courage

Guille64

Posté par Sandra1002 (invité)re : Maths spé devoir maison 15-09-04 à 15:14

Non ct juste pour rigoler que je disais cela. Pour la deuxieme question, il s'agit d'entiers naturel mais pour la question 1), c'est pas précisé.
Sandra



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !