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Maths spé matrice, proba, suite

Posté par
Symphotang 17-02-17 à 04:37

On considère deux urnes A et B contenant au total 4 boules numérotées de 1 à 4. A chaque instant n , n∈N, on choisit au hasard et de façon équiprobable, un numéro entre 1 et 4 et on change la boule ayant ce numéro d'urne.
On s'intéresse alors à l'évolution au cours du temps de ce système.

On note Xn la variable aléatoire qui donne le nombre de boules dans l'urne A après n choix.

1. Quelles sont les valeurs possibles de Xn ?
2. L'urne A peut donc être dans 5 états différents

a)Compléter alors le graphe suivant :

0 -----------> 1 -------------> 2 -------------> 3 ------------> 4
   <-----------     <-------------  <---------------  <--------------

b)En déduire P(Xn+1=3) en fonction de P(Xn=4) et de P(Xn=2)

c)On note Pn le vecteur ligne donnant la loi de probabilité de Xn
c'est à dire Pn=(P(Xn=0) P(Xn=1) P(Xn=2) P(Xn=3) P(Xn=4))
et S la matrice dite de transition telle que Pn+1=Pn X S

Déterminer la matrice S

3.
a)Déterminer la loi stable par S, c'est à dire le vecteur P tel que P=P X S

b)Vérifier alors que la loi définie par P est la loi Binomiale de paramètres 4 et 1/2

4. On suppose qu'au début toutes les boules sont dans l'urne A
a)A l'aide de la calculatrice déterminer P2 ; P4 ; P6 et P20

b)A l'aide de la calculatrice déterminer P1 ; P3 ; P5 et P21

c)Peut-on dire que la suite (Pn) converge ?

Bonsoir. Voilà un exercice de spé maths auquel je bloque. Cela fait plusieurs minutes que j'essaie de comprendre.
Pour la 1) j'ai trouvé :
Valeur possibles de Xn : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4

Pour la 2)b) cela donne ça :

             1                        3/4                      1/2                           1/4
0 -----------> 1 -------------> 2 -------------> 3 ------------> 4
   <-----------     <-------------  <---------------  <--------------
              1/4                     1/2                     3/4                           1

Et c'est à la question b) que je n'arrive pas à répondre.
Pouvez vous m'aider ?

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 17-02-17 à 10:50

Bonjour,

2)b) (X_{n+1}=3)=[(X_{n+1}=3)\cap (X_n=2)]\cup [(X_{n+1}=3)\cap (X_n=4)]

  Une réunion d' évènements disjoints.

Posté par
flightre : Maths spé matrice, proba, suite 17-02-17 à 10:59

salut

les urnes contiennent chacune 4 boules au départ ?

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 17-02-17 à 10:59

... et P(X_{n+1}=3)=P_{(X_n=2)}(X_{n+1}=3)\times P(X_n=2)+ P_{(X_n=4)}(X_{n+1}=3)\times P(X_n=4)

P(X_{n+1}=3)=\dfrac{1}{2}\,P(X_n=2)+P(X_n=4)

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 17-02-17 à 11:00

Citation :
On considère deux urnes A et B contenant au total 4 boules numérotées de 1 à 4.


Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 17-02-17 à 11:09

Tu dois tomber sur la matrice de transition  S suivante:


S=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\\dfrac{1}{4}&0&\dfrac{3}{4}&0&0\\0&\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&0\\0&0&\dfrac{3}{4}&0&\dfrac{1}{4}\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 17-02-17 à 11:18

3)a) Tu dois tomber sur P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{3}{8}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{16}\end{pmatrix}

Je te laisse réfléchir au 3)b).

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 17-02-17 à 16:11

Merci infiniment pour votre réponse. Je commence à y voir plus clair grâce à vous.
Cependant je me rends compte également que le travail est assez lourd.

Je vous tiendrai au courant de ma rédaction.

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 18-02-17 à 12:29

c) P(Xn+1=3)= 1/2 P(Xn=2) + P(Xn=4)
=0xP(Xn=0) + 0xP(Xn=1) + 1/2P(Xn=2) + 0xP(Xn=3) + 1P(Xn=4)

Du coup on fait la même chose avec les autres..

P(Xn+1=0)=0xP(Xn=0) + 1/4P(Xn=1) + 0xP(Xn=2) + 0xP(Xn=3) + 0xP(Xn=4)
P(Xn+1=1)=1xP(Xn=0)  + 0xP(Xn=1) + 1/2P(Xn=2) + 0xP(Xn=3) + 0xP(Xn=4)
P(Xn+1=2)=0xP(Xn=0) + 3/4P(Xn=1) + 0xP(Xn=2) + 3/4P(Xn=3) + 0xP(Xn=4)
P(Xn+1=4)=0xP(Xn=0) + 0xP(Xn=1) + 0xP(Xn=2) + 1/4P(Xn=3) + 0xP(Xn=4)

On veut Pn+1=Pn x S
On transforme ce système en matrice et on retrouve bien la matrice S au dessus.

3)a. P=P x S
(a,b,c,d,e) = (a,b,c,d,e) x(0       1       0       0      0      )
                                                   (1/4  0       3/4  0      0      )
                                                   (0       1/2  0      1/2  0      )
                                                   (0       0       3/4  0      1/4 )
                                                   (0       0       0       1      0      )

(a,b,c,d,e) = (1/4b, a + 1/2c, 3/4b + 3/4d, 1/2c + e, 1/4d)

On résout ce magnifique système...?

{a = 1/4b
{b = a + 1/2c
{c = 3/4b + 3/4d
{d = 1/2c + e
{e = 1/4 d

Normalement b = d et a = e

3)b. La loi définie par P est la loi Binomiale de paramètres 4 et 1/2
car X suit la loi binomiale de paramètres n=4 (car 4 boules) et p=1/2 (il faut justifier avec la matrice P ?) et il y a répétition d'épreuve indépendante les uns des autres.

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 18-02-17 à 12:56

Citation :
On résout ce magnifique système...?

{a = 1/4b
{b = a + 1/2c
{c = 3/4b + 3/4d
{d = 1/2c + e
{e = 1/4 d

Normalement b = d et a = e


Oui et il manque une équation: a+b+c+d+e=1

Citation :
3)b. La loi définie par P est la loi Binomiale de paramètres 4 et 1/2
car X suit la loi binomiale de paramètres n=4 (car 4 boules) et p=1/2 (il faut justifier avec la matrice P ?) et il y a répétition d'épreuve indépendante les uns des autres.


  Là tu "recopies" approximativement ton cours sans faire le lien avec ton exercice. Et tu ne prouves rien du tout. Bien sûr qu' il faut "justifier avec la matrice P":

  La loi définie par P est la suivante:

  P(X=0)=\dfrac{1}{16}

  P(X=1)=\dfrac{1}{4}

  P(X=2)=\dfrac{3}{8}

  P(X=3)=\dfrac{1}{4}

  P(X=4)=\dfrac{1}{16}

Quelle est la loi d' une variable aléatoire  X qui suit une loi binomiale de paramètre 4 et \dfrac{1}{2} ?

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 19-02-17 à 00:46

Je ne sais pas comment faire pour trouver la réponse.

P(X = 0 ; 2 ; 4) = 1/16 + 3/8 + 1/16 = 1/2
P(X= 1 ; 3 ) = 1/4 + 1/4 = 1/2

?

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 19-02-17 à 23:02

La réponse à quoi ?

Citation :
P(X = 0 ; 2 ; 4)


Ça signifie quoi d' après toi ?

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 21-02-17 à 03:44

Cela signifie que X=0 et X=2 et X=4

C'est correct ?

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 21-02-17 à 09:28

Voyons: une variable aléatoire discrète ne peut pas prendre des valeurs différentes en même temps; si X=1 par exemple, X\not=0, X\not=2, X\not=3 ....

Citation :
Quelle est la loi d' une variable aléatoire  X qui suit une loi binomiale de paramètre 4 et \dfrac{1}{2} ?


Tu dois bien avoir dans ton cours une formule qui te permet de calculer P(X=k) lorsque X est une variable aléatoire qui sui une loi binomiale de paramètre 4 et \dfrac{1}{2}

Posté par
flightre : Maths spé matrice, proba, suite 21-02-17 à 13:50

bonjour

une question qui me perturbe toujours pour cet énoncé est  ; est ce qu'on connait l'etat initilal des urnes bien qu'elle contiennent en tout 4 boules numerotées 1 à 4 ?
au depart combien dans A et combien dans B ?

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 21-02-17 à 15:30

Bonjour,

Non, on ne connaît pas l' état initial jusqu' au 3)b) inclu. Tout ce qu' on sait, c' est qu' il y a 4 boules en tout réparties dans les deux urnes au départ.

Et ça ne gène en rien la détermination de la matrice S.

Pour la suite au 4), l' énoncé précisé les choses:

Citation :
4. On suppose qu'au début toutes les boules sont dans l'urne  A


Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 21-02-17 à 20:33

Au départ, l'énonce du sujet m'avait aussi perturber ^^

Citation :
Tu dois bien avoir dans ton cours une formule qui te permet de calculer P(X=k) lorsque X est une variable aléatoire qui sui une loi binomiale de paramètre 4 et 1/2


Oui en effet !

Lorsque X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre 4 et 1/2
on a :

                    n
P(X=k)=(k) p^k (1-p)^n-k

                   4
P(X=k)=(k)1/2^k (1/2)^4-k

                    

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 21-02-17 à 20:41

Oh je viens de comprendre. Il faut donc calculer :

                     4
P(X=0) =(0) 1/2^0 (1/2)^4-0

                    4
P(X=1)=(1) 1/2^1 (1/2)^4-1

                    4
P(X=2)=(2) 1/2^2 (1/2)^4-2

                    4  
P(X=3)=(3) 1/2^3 (1/2)^4-3

                    4
P(X=4)=(4) 1/2^4 (1/2)^4-4

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 21-02-17 à 22:00

Mais il faut calculer ces probabilités !

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 22-02-17 à 05:51

P(X=0)=0,0625 = 1/16

P(X=1)=0,25 = 1/4

P(X=2)=0,375 = 3/8

P(X=3)=0,25 = 1/4

P(X=4)=0,0625 = 1/16

La loi P définie par P est bien la loi binomiale de paramètres 4 et 1/2.

4)a. Que signifie P2 ?

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 22-02-17 à 08:21

Citation :
c)On note Pn le vecteur ligne donnant la loi de probabilité de Xn
c'est à dire Pn=(P(Xn=0) P(Xn=1) P(Xn=2) P(Xn=3) P(Xn=4))


Avec n=2, tu as P_2

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 22-02-17 à 22:01

[Je dois rendre cette exercice demain matin alors à partir de cette date vous n'aurez plus à vous déranger pour moi Merci pour toute l'aide que vous m'avez apporter jusqu'ici]

Il est possible de calculer :
P(X2=0)P(X2=1)P(X2=2)P(X2=3)P(X2=4) ?

Si oui j'ai essayé  :
P(X=0)P(X=1/2)P(X=1)P(X=3/2)P(X=2)

Mais je peux seulement mettre des entiers naturels pour X du coup ça ne marche pas..

Posté par
lakere : Maths spé matrice, proba, suite 22-02-17 à 23:02


Avec ceci:

Citation :
4. On suppose qu'au début toutes les boules sont dans l'urne A


On a P_0=\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\end{pmatrix}

et P_n=P_0.S^n

Y' a plus qu' à faire chauffer la calculette ...

Citation :
Je dois rendre cette exercice demain matin alors à partir de cette date vous n'aurez plus à vous déranger pour moi


Je prends bonne note, sois tranquille, mais permets moi de te dire que tu es à côté de la plaque:
Que tu aies à "rendre" cet exercice ou non, tu travailles pour toi; en faisant cet exercice (et d' autres qu' on ne t' a pas demandé de faire), tu t' entraînes et tu progresses...
Au lycée, les profs ne sont pas dupes: les DM n' ont qu' une valeur toute relative pour ne pas dire nulle.
C' est en DS que ton professeur verra ce que tu as réellement dans le ventre; et là pour réussir, il faut travailler, s' entraîner régulièrement, la date butoir du devoir "à rendre" devant être le cadet de tes soucis...

Posté par
Symphotangre : Maths spé matrice, proba, suite 23-02-17 à 06:21

Oh je vois, c'est la formule d'un suite géométrique. Merci beaucoup.

Citation :
Je prends bonne note, sois tranquille, mais permets moi de te dire que tu es à côté de la plaque:
Que tu aies à "rendre" cet exercice ou non, tu travailles pour toi; en faisant cet exercice (et d' autres qu' on ne t' a pas demandé de faire), tu t' entraînes et tu progresses...
Au lycée, les profs ne sont pas dupes: les DM n' ont qu' une valeur toute relative pour ne pas dire nulle.
C' est en DS que ton professeur verra ce que tu as réellement dans le ventre; et là pour réussir, il faut travailler, s' entraîner régulièrement, la date butoir du devoir "à rendre" devant être le cadet de tes soucis...


Oui je comprends ce que vous voulez dire.


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