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Le but de l'exercice est de démontrer que si l'on choisit un entier k, k>1, il existe k nombres consécutifs qui ne sont pas premiers, et même qu'il existe une infinité de séquences de k termes consécutifs non premiers. (L'écart entre deux nombres premiers peut être aussi grand que l'on veut).

1)n est un entier, n>k. On pose :
U0 = n!
U1 = n!+1
U2 = n!+2
…
Uk = n!+k

Démontrer que pour tout entier m, 2≤m≤k+1, chacun des nombres Um est composé (non premier).

2) Déduisez-en que l'on peut trouver, par exemple, une infinité de séquences de 10^5 termes consécutifs non premiers.