Bonsoir, je n'arrive pas à comprendre d'ou sort le 20.5 dans le 5-A.

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO2.
En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total.
Pour tout entier naturel n, on note
Un le nombre de milliers de tonnes de CO2 émis dans cette zone industrielle au cours de l'année 2005+n.

1) Déterminer u0 et u1.
u0= 41 et u1=41×(1−2÷100)+200÷1000= 40,38

2) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Un+1=0,98×Un+0,2.

Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 2 % est égal à 0,98 et, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 0,2 milliers tonnes de GES en équivalent CO2 donc :
pour tout entier naturel n, on a : Un+1=0,98×Un+0,2.

3) On considère la suite (Vn)
définie, pour tout entier naturel n, par
vn=un−10.
A) Montrer que la suite (vn)
est géométrique de raison 0,98. Préciser son premier terme.
Pour tout entier n,
vn+1=un+1−10=0,98un+0,2−10=0,98un−9,8=0,98×(un−10)=0,98vn
Ainsi, pour tout entier naturel n, vn
est une suite géométrique de raison 0,98 dont le premier terme
v0=41−10=31
B) Exprimer vn
en fonction de n, pour tout entier naturel n.
(vn) est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme v0=31 donc pour tout entier naturel n, on a vn=31×0,98n
C) En deduire que, pour tout entier naturel n,
un=31×0,98n+10
Comme pour tout entier naturel n, vn=un−10⇔un=vn+10 on en déduit que :
pour tout entier naturel n, un=31×0,98n+10
4-A) Calculer la limite de la suite
(un)
0<0,98<1 donc  lim n→+∞ 0,98n=0 d'où,  limn→+∞ 31×0,98n+10=10
Soit  lim n→+∞ un=10
B) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La suite (un)
converge vers 10 donc à partir d'un certain nombre d'années, le nombre de milliers de tonnes de CO2 émis dans cette zone industrielle au cours de chaque année sera proche de 10 milliers de tonnes.
5) À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005.

A) Recopier et compléter les lignes 3 et 4 de l'algorithme

1 U←41
2 n←0
3 Tant que U>20,5
4 U←0,98×U+0,2
5 n←n+1
6   Fin Tant que
B) La valeur de n calculée à la fin de l'algorithme est 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Selon ce modèle, la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005 à partir de 2059