Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Maths sup : Sommes et racine de l'unité

Posté par
BastienDP 06-10-18 à 10:36

Bonjour,

J'ai du mal à résoudre une question de mon devoir.
En effet je dois montrer que :  \sum_{K=0}^{n-1}{cos(\frac{2K\pi }{n})}=0 n avec n2

On fais donc une Récurrence, que l'on prouve en initialisant au rang n=2.
C'est à l'hérédité ou j'ai plus de mal.

On démontre que \sum_{K=0}^{(n+1)-1}{cos(\frac{2K\pi}{n+1})} =0

\sum_{K=0}^{(n+1)-1}{cos(\frac{2K\pi}{n+1})} = \sum_{K=0}^{n-1}{cos(\frac{2K\pi }{n})} + cos(\frac{2\pi }{n})


On peut se servir de l'HR de récurrence, mais je ne sais pas comment prouver que cos(2K/n)=0

Je pense donc mettre trompé lors de la simplification de la somme, mais je ne sais pas comment faire autrement.

Merci de votre aide

Posté par
Zrunre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 10:54

Tu ne peux pas faire de récurrence .
En effet , il n'y en général pas de lien immédiat entre cos(2\pi/n) et cos(2\pi /(n+1)).
Ici l'idée est de dire que cos(x)=Re(e^{ix}) et de se ramener à une somme de termes d'une suite géométrique

Posté par
BastienDPMaths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 11:55

Bonjour,

On me demande combien vaut \sum_{k=0}^{n-1}{\left|\omega ^{K} -1\right|}^{2}

Sachant que \omega = exp( \frac{2i\pi }{n})

Je cherche juste à savoir comment simplifier la valeur absolue.

Merci de votre aide

*** message déplacé ***

Posté par
DOMOREAMaths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 12:09

bonjour,

1-e^{i\theta}=e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2})
d'où le module au carré, d'où la somme ...

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 12:27

Bonjour DOMOREA !
La somme des \sin^2 est-elle vraiment plus simple ?

Je pense que |e^{i\theta}-1|^2=(e^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-1) rend le calcul plus facile !

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 12:36

salut

en notant z* le conjugué de z et puisque 1*= 1

en notant A le point d'affixe 1 et W_k le point d'affixe w^k

et puisque le polynome x^n - 1 est réel alors les racines sont conjuguées deux à deux

et puisque le théorème de Pythagore nous dit que h^2 = a^2 + b^2

alors ...

*** message déplacé ***

Posté par
Razesre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 12:59

Bonjour,

Ce que propose luzak est beaucoup plus rapide.

luzak @ 06-10-2018 à 12:27

Je pense que |e^{i\theta}-1|^2=(e^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-1) rend le calcul plus facile !
Développer et sommer.

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 13:19

bine sur !!! mais il n'est pas inutile ou inintéressant d'en avoir une vision géométrique ... pour le plaisir ... et son instruction ....



*** message déplacé ***

Posté par
BastienDPre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 13:24

Je pense avoir trouvé, je vous remercie mais je ne comprends pas bien comment vous obtenez le développement de \left|e^{i\theta }-1} \right|^{2}

Pourriez vous m'expliquer ?


Razes @ 06-10-2018 à 12:59

Bonjour,

Ce que propose luzak est beaucoup plus rapide.
luzak @ 06-10-2018 à 12:27

Je pense que |e^{i\theta}-1|^2=(e^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-1) rend le calcul plus facile !
Développer et sommer.


*** message déplacé ***

Posté par
BastienDPre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 13:26

Oui je vous remercie de votre proposition, mais vision géométrique n'est pas mon fort ^^

carpediem @ 06-10-2018 à 13:19

bine sur !!! mais il n'est pas inutile ou inintéressant d'en avoir une vision géométrique ... pour le plaisir ... et son instruction ....



*** message déplacé ***

Posté par
Razesre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 13:39

(a-1)(b-1)=??


|e^{ik\theta}-1|^2=(e^{ik\theta}-1)(e^{-ik\theta}-1) =...

*** message déplacé ***

Posté par
BastienDPre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 13:52

Razes @ 06-10-2018 à 13:39

(a-1)(b-1)=??


|e^{ik\theta}-1|^2=(e^{ik\theta}-1)(e^{-ik\theta}-1) =...


Oui je comprends bien le développement. Ce que je ne comprends pas c'est comment passer de ceci : |e^{ik\theta}-1|^2 à cela (e^{ik\theta}-1)(e^{-ik\theta}-1)

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Maths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 14:06

|z| = |z*| => |z|^2 = zz* (vu au lycée) ...

*** message déplacé ***

Posté par
DOMOREAMaths sup : Sommes et racine de l'unité 06-10-18 à 15:56

bonjour luzak et confrères,
En fait je pensais après ce détour développer (e^{-i\theta}-e^{i\theta})(e^{i\theta}-e^{-i\theta})
je n'avais nullement l'intention de m'attaquer à une somme de sinus au carré, mais j'avoue que ce détour est inutile.

*** message déplacé ***


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !