Exercice

1.a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 10² par 3

Ma rep : On trouve un reste égale à 1 tel que 100 = 3 x 33 + 1

Correct ou pas ?

b) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 10ⁿ par 3 vaut 1.

Ma rep : Démontrons par récurrence que pour tout n ∈ N, "10ⁿ = 3q + 1"

Soit Pn définie sur N par "10ⁿ = 3q + 1"
Pour n = 0 on trouve 1 = 3x0+1 donc P₀ vraie
Pour n = 1 on trouve 10 = 3 x 3 + 1 donc P₁ vraie
Pour n = 2 on trouve 100 = 3 x 33 + 1 donc P₂ vraie
Pour n = 3 on trouve 1000 = 3 x 333 donc P₃ vraie
Supposons que pour n, entier fixé, Pn soit vraie
On cherchera à démontrer que Pn+1 vraie "10ⁿ⁺¹ = 3q + 1"
Or Pn vraie alors : 10ⁿ = 3q + 1
                    10ⁿ x 10¹ = (3q + 1) 10¹
                    10ⁿ⁺¹ = 10 x 3q + 10 x 1
                    10ⁿ⁺¹ = 30q + 10
                    10ⁿ⁺¹ = 10 ( 3q + 1)

Et après je suis un peu embêtée avec le 10 en facteur, pourriez-vous me donner un coup de pouce ?

2. Justifier que le nombre 4 x 10ⁿ - 1 est divisible par 3 pour tout entier naturel

Ma rep : Démontrons par récurrence que pour tout n ∈ N, "4 x 10ⁿ - 1 est divisible par 3"

Soit Pn définie sur N par "4 x 10ⁿ - 1 est divisible par 3"
Pour n = 0 on trouve 3 = 3 x 1 donc P₀ vraie
Pour n = 1 on trouve 39 = 3 x 13 donc P₁ vraie
Pour n = 2 on trouve 399 = 133 x 3 donc P₂ vraie
Pour n = 3 on trouve 3999 = 1333 x 3 donc P₃ vraie
Supposons que pour n, un entier fixé, Pn soit vraie
On cherchera donc à démontrer que Pn+1 est vraie "4 x 10ⁿ⁺¹ - 1 est divisible par 3"
Or Pn vraie alors il existe k ∈ N tel que 4 x 10ⁿ - 1 = 3k
4 x 10ⁿ⁺¹ - 1 = 4 x 10ⁿ x 10¹ - 1 = 10 x (3k+1) - 1 = 30k + 9 = 3(10k + 3) = 3 x k
Donc k ∈ Z existe tel que 3 x k donc Pn+1 vraie

Donc d'après l'axiome de récurrence, pour tout n ∈ N, "4 x 10ⁿ - 1 est divisible par 3".  

Correct ou pas ?