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Niveau Maths sup
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[MathsSup]Dérivation

Posté par
Volterra
21-03-19 à 00:21

Bonsoir,
Je bloque vraiment sur un énoncé. Je le poste ici dans le but d'avoir des pistes pour le résoudre :
Soit f de classe C2 sur R+ de dérivée nulle en 0. Montrer qu'il existe une fonction g de classe C1 sur R+ telle que pour tout x appartenant à R+ f(x)=g(x^2)
Merci pour votre aide

Posté par
etniopal
re : [MathsSup]Dérivation 21-03-19 à 00:39

f(x) = g(x²)  pour tout x > 0  équivaut à   g(t) = f(t1/2) pour tout tt > 0

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : [MathsSup]Dérivation 21-03-19 à 15:05

Bonjour ,


il me semble, sauf erreur, qu'on peut affaiblir les hypothèses de cet exercice en supposant seulement que :


\boxed{i} f est C^1 sur \mathbb R^+.

\boxed{ii} f'(0)=0.

\boxed{iii} f''(0) existe.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : [MathsSup]Dérivation 21-03-19 à 15:19

preuve


posons, pour x\geqslant0, g(x)=f(\sqrt x) et du coup g est continue sur \mathbb R ^+


il est clair que g est C^1 sur \mathbb R^{+*} et que \boxed{\forall x>0 ~,~ g'(x)=\frac{f'(\sqrt x)}{2\sqrt x}}


et pour montrer que g est C^1 sur \mathbb R^+ il suffit de montrer que g' admet une limite finie en 0^+


ce qui est acquis vu que \boxed{\lim_{x\to0^+}g'(x)=\frac{1}{2}\lim_{x\to0^+}\frac{f'(\sqrt x)-f'(0)}{\sqrt x}=\frac{f''(0)}{2}}

Posté par
matheuxmatou
re : [MathsSup]Dérivation 21-03-19 à 18:37

la question étant : est-on là pour faire les exos à leur place ?

Posté par
nakhal69
re : [MathsSup]Dérivation 21-03-19 à 19:40

Fromule de taylor avec reste intégral

f(x) = f(0) + \frac{x^2}{2} \int_{0}^{1}{f^{(2)}(tx)dt}

Prendre  g(x) = f(0) + \frac{x}{2} \int_{0}^{1}{f^{(2)}(t\sqrt{x})dt}

Posté par
Volterra
re : [MathsSup]Dérivation 21-03-19 à 20:01

Merci pour les réponses subsidiaires mais la piste de ethniopal m'a permis de réaliser la facilité de l'exo.

Posté par
nakhal69
re : [MathsSup]Dérivation 21-03-19 à 20:06

Plutôt:
f(x) = f(0) +x  \int_{0}^{1}{f^{'}(tx)dt}

g(x) = f(0)+ \sqrt{x} \int_{0}^{1}{f^{'}(t\sqrt{x})dt}



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