Niveau terminale

Matice l'enigme de l'orfevre

Posté par
languets 29-11-12 à 17:07

bonjour à tous aujourd hui je suis un peu en rad sur un dm de spe maths sur les matrices ... voici les énoncées:
Un orfèvre possède 101 pièces d'or et constate le fait suivant: pour chacune des piéces , il existe une maniere de scinder les 100 autres en 2 groupes de 50 piéces de m^me poids total.Il en conclut alors que  toutes les piéces on necessairement le même poids. Comment a-t-il pu colcure à ce résultat ??

Pour tout entyier naturel n impair, on considère la matrice M carrée de taille n construite de la manière syuvante :
-on numérote les pièces de 1 à n
-Lorque l'orfevre retire la ième piece, Il sépare le reste en 2 groupes Aet B dse mêmes poids
- on definit alors m_ij le coefficient de M par:
            m_ij(1si j=i
                          (0si la j ème pièce se trouve dans le groupe A
                          (2si la j ème pièce se trouve dans le groupe B

1Cas particulier où n=3
matrice M (1 2 0)
          (2 1 0)
          (2 0 1)
a) préciser la signification des élément de la première ligne de la matrice M:
ma réponse  1: M₁₁:1 car i=j
                  M₁₂:2 car la piece se trouve dans le groupe B
                  M₁₃:0 car la piece se trouve dans le groupe A
b) soit N (-1/3 2/3 0) Montrer que N inverse de M.
          (2/3 -1/3 0)
          (2/3 -4/3 1)

ma réponse: M*N = matrice I₃ donc N inverse de M

c) On note X la matrice constituer des poids des pièces X=(poids de la pièce 1)
                                                             (poids de la pièce 2)
                                                             (poids de la pièces3)

Soit P_t Le poids total des 3 pièces determiner  M*X en fonction de P_t
ma réponse: c'est la que je commence à rammer ...

d) En déduire la matrice X et le réponse dans le cas n=3
réponse: n'ayant pas la question  précédente ...

voila donc si une âme charitable pourrait m'aider ca ne serait pas de refus ( il y a une deuxieme partie de généralisation mauis je pense que si je comprend la première étape ce ne serat pas nécessaire de m'expliquer )
bien amicalement languets =)

Posté par re : Matice l'enigme de l'orfevre 30-11-12 à 05:21

Si le lot contient un nombre pair de pièces de poids différents.
On retire une de ces pièces du lot B et on scinde les autres en 2 groupes de 50 pièces. Il reste un nombre impair de pièces de poids différents donc quelque soit la façon de former les groupes, un lot contient au moins une pièce de poids différent de plus que l'autre lot.
Les deux groupes n'ont pas le même poids total donc ce cas est exclu.

Si le lot contient un nombre impair de pièces de poids différents.
On retire une de ces pièces du lot A et on scinde les autres en 2 groupes de 50 pièces. Il reste un nombre impair de pièces de poids différents donc quelque soit la façon de former les groupes, un lot contient au moins une pièce de poids différent de plus que l'autre lot.
Les deux groupes n'ont pas le même poids total donc ce cas est exclu.
Toutes les pièces ont nécessairement le même poids.

Posté par re : Matice l'enigme de l'orfevre 30-11-12 à 10:38

Bonjour,
3c)
$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

x+y+z=pt

$MX=\begin{pmatrix} x 2y 0\\2x y 0\\2x 0 z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}pt\\pt\\pt\end{pmatrix}$

$NMX=N\begin{pmatrix}pt\\pt\\pt\end{pmatrix} \\ X=\begin{pmatrix} -1/3 2/3 0\\2/3 -1/3 0\\2/3 -4/3 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}pt\\pt\\pt\end{pmatrix}= \\ \begin{pmatrix}1/3pt\\1/3pt\\1/3pt\end{pmatrix} \\$
==>x=y=z les pièces ont le même poids

Posté par re : Matice l'enigme de l'orfevre 30-11-12 à 11:05

Bonjour,

Je ne te comprends pas Cherchell: tu fais passer le topic de languet au bleu sans répondre à ses questions il s' agit de matrices non ?

b)

Citation :
M12:2 car la piece se trouve dans le groupe B
M13:0 car la piece se trouve dans le groupe A

Pas tout à fait:

Quand la pièce 1 est retirée: La pièce 2 est dans B et la pièce 3 est dans A et $p_2=p_3$

Quand la pièce 2 est retirée: La pièce est dans B et la pièce 3 est dans A et $p_1=p_3$

Quand la pièce 3 est retirée: La pièce 1 est dans B et la pièce 2 est dans A et $p_1=p_2$

c) $MX=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\2&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_1+2p_2\\2p_1+p_2\\2p_1+p_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_t\\P_t\\P_t\end{pmatrix}$ en tenant compte des 3 égalités précédentes.

d) $X=M^{-1}X=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&0\\\frac{2}{3}&-\frac{4}{3}& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P_t\\P_t\\P_t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{P_t}{3}\\\frac{P_t}{3}\\\frac{P_t}{3}\end{pmatrix}$

Conclusion: les pièces ont le même poids.

On le savait déjà dès le b) avec $n=3$ , mais ce n' était pas le but...

Posté par re : Matice l'enigme de l'orfevre 30-11-12 à 11:07

Oh! bonjour labo! je traîne beaucoup trop!

Posté par re : Matice l'enigme de l'orfevre 30-11-12 à 11:41

Bonjour  cailloux
_{Tu donnes plus d'explications  et tu n'oublies pas les signes....}
$MX=\begin{pmatrix} x + 2y + 0\\2x + y + 0\\2x + 0  +z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}pt\\pt\\pt\end{pmatrix}$

Posté par re : Matice l'enigme de l'orfevre 01-12-12 à 12:35

merci bien les amis j'ai compris le raisonnement avec les matrices il est vraiment très bien développé je peux faire le second exemple seul (généralisation avec n=101)
encore une grand merci 0 [Labo et Cailloux
Désolé Cherchell mais je devais le démontrer à l aide de l'outil matriciel ...
encore une fois merci d 'avoir pris le temps de répondre à mes questions

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