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matrice

Posté par fripouille (invité) 08-07-04 à 08:42

re bonjour
me revoila

soit la matrice M    =

     -2    2
1    -     3
5    -8    12     

ou     est un reel donne

1/calculer le determinant D   de M
  
trouver les racines de D

2/suivant les valeurs de    resoudre le systeme d inconnue
(x,y,z)       3

(L) :   x  -2y  +2z  =4
          x  - y  +3z  =-2
          5x  -8y  +12    =8

3/discuter selon les valeurs de    le rang de la matrice M
  

merci d avance et bon courage

Posté par le matheux (invité)re : matrice 08-07-04 à 10:22

1) le déterminant se  calcule par operations élémentaires sur les
lignes et les colonnes, ou par développement suivant les lignes ou
les colonnes,et vraiment si tu trouve pas tu peux utiliser la loi
de sarrus.
ici il vaut mieux additionner la troisieme colonne à la deuxième ligne,
ainsi tu fais apparaitre un 0. La matrice qure l'on obtient
  est:
L   0            2
1   3-L        3
5  12L-8   12L
Maintenant on peut développer suivant la premiere ligne ce qui donne :
L((3-L)*12L-3(12L-8))+2(12L-8-(3-L)*5)
en développant et simplifiant cette expression, on obtient le polynome
caractéristique:
-12L^3 + 58L - 46
qui se factorise en :
-2*(6L^3 - 29L + 23)
=D L

Pour trouver les racines d'un polynome du troisieme degré il faut
trouver au moins une racine simple. Ici x=1 est une racine évidente,
on peut donc factoriser le polynome par (x-1)
On obtient donc:
-2*(x-1)*(6x²+6x-23)
pour résoudre l'équation 6x²+6x-23 on utilise le discriminant
Delta = 36+4*23*6 = 588
donc les racines sont:
x=(-6+588^(1/2)) /12 = (-7*3^(1/2) -3)/6
et x=(-6-588^(1/2)) /12 = (7*3^(1/2) -3)/6
on a ainsi obtenu les trois valeurs propres de M L

NB: les lambda , je les ai remplacé par des L car j'arrive pas à
les écrire.
La suite dans quelques instants.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : matrice 08-07-04 à 10:46

1/

D =  .(-12 ²+24)-1(-24+16)+5.(-6+2)

D =-12³ + 58 - 46

= 1 est solution de =-12 ³ + 58
- 46 = 0.

On divise = -12³ + 58 - 46 par  
- 1, on trouve:

-12³ + 58 - 46  = ( - 1).(-12²-12+46)

-12³ + 58 - 46  = 2.( - 1).(-6²-6+23)

Racines de :-6²-6+23 = 0

= [3 +/- V(9 + 138)]/-6   (avec V pour racine carrée).
= [3 +/- V(147)]/-6

Les racines de D sont:
= 1
= -[3 - V(147)]/6
= -[3 + V(147)]/6
-----
Sauf distraction. Vérifie    

Suite si j'ai le courage et le temps  


Posté par le matheux (invité)re : matrice 08-07-04 à 10:47

supposons que L prend une des valeurs propres.
l'ensemble des solutions sont de la forme Ker(M)+ Vect(A) où A est une solution
particuliere

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : matrice 08-07-04 à 10:48

Double emploi avec le matheux, désolé , je n'avais pas vu ta
réponse en envoyant la mienne.



Posté par le matheux (invité)re : matrice 08-07-04 à 10:50

J-P, c'était pas la peine de recopier ma solution et te donner
l'impression d'être bon

Posté par le matheux (invité)re : matrice 08-07-04 à 10:51

excuse-moi J-P, j'avais pas vu ton dernier message

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : matrice 08-07-04 à 11:02

T'excuse pas le matheux, de toutes manières, j'ai bien
l'impression que je jonglais avec ce genre de calculs bien longtemps
avant que tu ne sois né et il ne me viendrait pas à l'idée de
te copier, toi ou un autre, pour paraître.







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