re bonjour
me revoila
soit la matrice M =
-2 2
1 - 3
5 -8 12
ou est un reel donne
1/calculer le determinant D de M
trouver les racines de D
2/suivant les valeurs de resoudre le systeme d inconnue
(x,y,z) 3
(L) : x -2y +2z =4
x - y +3z =-2
5x -8y +12 =8
3/discuter selon les valeurs de le rang de la matrice M
merci d avance et bon courage
1) le déterminant se calcule par operations élémentaires sur les
lignes et les colonnes, ou par développement suivant les lignes ou
les colonnes,et vraiment si tu trouve pas tu peux utiliser la loi
de sarrus.
ici il vaut mieux additionner la troisieme colonne à la deuxième ligne,
ainsi tu fais apparaitre un 0. La matrice qure l'on obtient
est:
L 0 2
1 3-L 3
5 12L-8 12L
Maintenant on peut développer suivant la premiere ligne ce qui donne :
L((3-L)*12L-3(12L-8))+2(12L-8-(3-L)*5)
en développant et simplifiant cette expression, on obtient le polynome
caractéristique:
-12L^3 + 58L - 46
qui se factorise en :
-2*(6L^3 - 29L + 23)
=D L
Pour trouver les racines d'un polynome du troisieme degré il faut
trouver au moins une racine simple. Ici x=1 est une racine évidente,
on peut donc factoriser le polynome par (x-1)
On obtient donc:
-2*(x-1)*(6x²+6x-23)
pour résoudre l'équation 6x²+6x-23 on utilise le discriminant
Delta = 36+4*23*6 = 588
donc les racines sont:
x=(-6+588^(1/2)) /12 = (-7*3^(1/2) -3)/6
et x=(-6-588^(1/2)) /12 = (7*3^(1/2) -3)/6
on a ainsi obtenu les trois valeurs propres de M L
NB: les lambda , je les ai remplacé par des L car j'arrive pas à
les écrire.
La suite dans quelques instants.
1/
D = .(-12 ²+24)-1(-24+16)+5.(-6+2)
D =-12³ + 58 - 46
= 1 est solution de =-12 ³ + 58
- 46 = 0.
On divise = -12³ + 58 - 46 par
- 1, on trouve:
-12³ + 58 - 46 = ( - 1).(-12²-12+46)
-12³ + 58 - 46 = 2.( - 1).(-6²-6+23)
Racines de :-6²-6+23 = 0
= [3 +/- V(9 + 138)]/-6 (avec V pour racine carrée).
= [3 +/- V(147)]/-6
Les racines de D sont:
= 1
= -[3 - V(147)]/6
= -[3 + V(147)]/6
-----
Sauf distraction. Vérifie
Suite si j'ai le courage et le temps
supposons que L prend une des valeurs propres.
l'ensemble des solutions sont de la forme Ker(M)+ Vect(A) où A est une solution
particuliere
J-P, c'était pas la peine de recopier ma solution et te donner
l'impression d'être bon
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