Non, l'exercice n'est pas si difficile.

On suppose donc qu'il existe B ... tel que: AB=0

Ceci signifie que:   Im(B) inclus dans ker(A)
Donc: dim(ker A) >= dim(Im B)

Et on applique le théorème du rang, pour obtenir l'inégalité demandée.

Je te laisse réfléchir à cela.

Merci perroquet! j'ai compris ce sens, mais l'autre sens je ne vois vraiment pas par quoi commencer !

Abordons maintenant la réciproque. Si A est de rang r, elle est équivalente à une matrice



On peut donc écrire:   A=Q^(-1)MP

Tu vas chercher B sous la forme: B=P^{-1}M'Q'

depuis tout à l'heure je fais mes vaines tentatives et je n'y arrive vraiment pas !
j'ai AB= Q^(-1)MM'Q'
il faut que MM' soit nulle ?

Oui, il faut que MM' soit nulle. On va prendre:

Et puis c'est bon je peux conclure ?
Donc à quoi sert le s qu'ils m'ont donnés dans l'énoncé, tel que rg(A) <=s ?

On vient de montrer que si le rang de A est r, il existe une matrice B de rang p-r telle que AB=0.
Puisque r est inférieur à s, le rang de B est supérieur à p-s.

ok merci pour tout ))

en fait j'ai une question bête, pourquoi est ce que :
rg(A) = rg(C1,C2,...,Cn), Ci sont les colonnes de A ?

C'est dans le cours de Sup

c'est une définition de cours ?

N'ayant pas ton cours sous les yeux ... comment puis-je répondre ?
Je suis certain que le résultat figure dans ton cours. Mais à quel endroit? Ca, je ne le sais pas