Une matrice n'est pas inversible si son déterminant est nul. Essaie de développer le déterminant suivant une ligne ou une colonne bien choisie.

en effet une matrice n'est pas inversible si et seulement si son determinant est nul donc si tu developpe suivant la colonne ne comportant que des zéros tu vois evidemment que ce determinant est nul d'ou la conclusion!!!!!

qu'appelle ton le déterminant d'une matrice svp?

Bonjour

Soit

le déterminant de A est l'élément det(A) de K défini par :
det

étant l'ensemble des permutations de


jord

Salut, pas besoin de déterminant ici:

si une matrice est inversible alors l'application associée est injective, si et seulement si ker={0}. Ici si une colonne est 0, alors un vecteur de la base est envoyé sur 0, donc...

Sans ca, essaie de voir qu'une multiplication de matrices ce n'est rien d'autres que des produits scalaires des lignes et des colonnes des matrices.
Si tout une colonne est nulle et que la matrice est malgré tout inversible, que se passe t'il?

a+

Bonjour !

Otto : 1=0 ?

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Je suis nul en maths.

Merci bcp

Mais est-ce que le fait qu'une matrice n'est pas inversible si son déterminant est nul est un théorème? Si non, comment le sait-on?

Oui c'est un théoréme qui se démontre assez simplement d'ailleur .


jord

Oui c'est simple à condition d'avoir certaines informations, si on ne les a pas, il suffit de les trouver, c'est simple mais très calculatoire:
Si R est un anneau commutatif alors pour deux
éléments A et B de Mn(R) on a det(AB)=det(A)det(B).
De là ca permet de conclure.

Sinon le théorème de Cayley Hamilton permet aussi de conclure, mais c'est plus compliqué:
PA(X)=Det(A-X) s'annule en X=A

N_comme_Nul: quelque chose comme ca.
En fait je pense à priori que l'on aura 1=un hyperplan

Comment montrer qu'une matrice carrée M ayant une colonne de 0 n'est pas inversible?
supposons que l'on travaille dans un E.V E tel que dim E=n non nul

la matrice M est carrée on associe u qui est dc un endomorphisme (au moins..)

si une des colonnes est nulle
alors  dim(Im(u)) n-1  (**)

si nous sommes en dimension finie
d'apres le theoreme du rang on en deduit que dim (ker u ) non nulle
car sinon dim (Imu) = n ce qui contredit (**)
dc keru{0}
donc u n'est pas injective par consequent pas bijective

donc u non inversible...

nightmare je comprend pas très bien
Tu pourrais préciser tes notations stp je comprend pas dsl de mon inculture

Euh , une petite erreur autant pour moi :
est l'ensemble des permutations de

Sinon , que ne comprends tu pas dans ma notation ?


Jord

Moi non plus je ne comprend pas ce qu'il ne comprend pas

Pour le cas n=2 on a
det(A)=a11a22-a12a21

det(A)=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a11a32a23-a21a12a33-a31a22a33

Si tu te choisis une base B, que tu dis que det(B)=1, alors le déterminant est uniquement déterminé (sans mauvais jeu de mots...)

oups j'ai oublié de le mentionner, la 4e ligne est pour le cas n=3.

ce à quoi sigma et epsilon correspondent
Autant pour moi ou au temps pour moi?

Epsilon(sigma) c'est la signature de la permutation sigma.
Et comme je viens de le signaler sigma c'est une permutation (ie une bijection d'un ensemble fini dans lui même)