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Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour un DM de spécialité math, je ne suis pas sur de mes résultats et je suis bloqué sur la fin.
Voici l'énoncé:
Un amateur de champignons sauvages garde secret trois lieux 1,2 et 3 de cueillette. Lorsque c'est la saison, il se rend, chaque semaine, sur l'un des trois lieux. Cette année, il a décidé que, si les champignons sont rares:
- Au lieu 1, alors la semaine suivante, il se rendra au lieu 2 avec une probabilité de 0.3, ou au lieu 3 avec une probabilité de 0.7.
- Au lieu 2, alors la semaine suivante, il se rendra au lieu 1 ou au lieu 3 de manière équiprobable.
- Au lieu 3, alors la semaine suivante, il se rendra au lieu 1 avec une probabilité de 0.4, ou au lieu 2 avec une probabilité de 0.6.
Pour tout nombre entier naturel n non nul, on note Cn la variable aléatoire égale à 1(resp. à 2, à 3) lorsque cet amateur se trouve sur le lieu de cueillette 1 (resp. 2,3) la n-ième semaine. On se propose de déterminer le lieu de cueillette le plus probable la 4ème semaine, en fonction du premier lieu choisi.
1.Arbre de probabilité
a) Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
b) Exprimer P(Cn+1=1) en fonction de P(Cn=1), P(Cn=2), P(Cn=3).
Exprimer de manière analogue P(Cn+1=2) et P(Cn+1=3)
2. Graphe probabiliste
a) Representer cette situation par un graphe probabilisre dont on donnera la matrice de transition M.
b) Pour tout nombre entier naturel n non nul, on note : Pn= ( P(Cn=1) P(Cn=2) P(Cn=3) )
Justifier que Pn+1= Pn*M
c) Démontrer par récurrence que, pour tout n>1 : Pn= P1*Mn-1
3. La 4ème semaine.
Sur quel lieu a-t-on le plus de chance de croiser cet amateur de champignons la 4ème semaine s'il a commencé la saison de cueillette:
- au lieu 1?
- au lieu 2?
- au lieu 3?
Ou j'en suis :
1. a) Image ci dessous
b) P(Cn+1=1)=1/2P(Cn=2)+0.4P(Cn=3)
P(Cn+1=2)=0.3P(Cn=1)+0.6P(Cn=3)
P(Cn+1=3)=0.7P(Cn=1)+1/2P(Cn=2)
2.a) Image ci dessous
et M=(0 0.03 0.7)
0.5 0 0.5
0.4 0.6 0
b)On a Pn+1= ( P(Cn+1=1) P(Cn+1=2) P(Cn+1=3) )
Pn= ( P(Cn=1) P(Cn=2) P(Cn=3) )
M=(0 0.03 0.7)
0.5 0 0.5
0.4 0.6 0
Je ne sais pas si je peut ensuite dire directement donc Pn+1=Pn*M
Je suis ensuite bloqué pour la suite.
Merci de bien vouloir m'aider
Bonjour shaynah
OK pour tes réponses
tu as montré que dans la 1ère partie
P(Cn+1=1)=1/2P(Cn=2)+0.4P(Cn=3)
P(Cn+1=2)=0.3P(Cn=1)+0.6P(Cn=3)
P(Cn+1=3)=0.7P(Cn=1)+1/2P(Cn=2)
ce qui correspond à
==> P(n+1)= Pn*M
c)n> 1
initialisation
tu vérifies
hérédité
pour la 4ème semaine n=4
Bonjour,
pour la c) :
Initialisation :
P2=P1*M car M=I3 donc la propriété est vraie au rang initial ( je ne suis pas sur.. )
Hérédité :
K>1, on suppose Pk=P1*Mk-1
On veut montrer que Pk+1=P1*Mk
Comme pour tout n>1 Pn+1=Pn*M
donc Pk+1=P1*Mk-1*M
Pk+1=P1*Mk
c'est bien ça?
initialisation (n>1)
attention si alors on aurait
ce qui est faux ..
( en utilisant l'arbre de la 1)
tu vérifies que
et ==>
OK pour l'hérédité
tu peux préciser par associativité
d'accord, merci
Pour la 4 semaine :
P4=(0.309 0.309 0.382)
donc on a plus de chance de croiser cet amateur s'il a commencé la saison de cueillette au lieu 3?
P4=(0.309 0.309 0.382) OK
attention à la conclusion
donc on a plus de chance de croiser cet amateur de cueillette de champignons en 4ème semaine au lieu 3
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