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Matrice
Bonjour, j'ai un deuxième DM à faire et je suis bloqué à la question 3, je ne vois pas comment procédé. Merci de m'aider.
On lance indéfiniment un dé à 4 faces bien équilibré dont les faces sont numérotés 1 à 4. On s'intéresse au maximum obtenu après un certain nombre de lancers du dé.
Partie A : Étude de la marche aléatoire.
1 - Écrire la matrice A de transition de cette marche aléatoire à 4 états.
On convient que l'état probabiliste initial est E0= (1 0 0 0)
2 - Quelle est la probabilité de gagner en 1 coup ? En 2 ? En 3 ? En 4 ?
3 - On considère la matrice B=4A
Soit n entier supérieur ou égal à 1. Montrer que :
Bn=
| 1 | an | bn | cn |
| 0 | 2n | dn | en |
| 0 | 0 | 3n | fn |
| 0 | 0 | 0 | 4n |
où (an), (bn), (cn), (dn), (en) et (fn) satisfont à des relations de récurrence que l'on donnera.
4a - Reconnaitre la suite (an)et exprimer an en fonction de n.
b - Exprimer bn+1 + 2n+1 en fonction de bn+2n. En déduire l'expression de bn en fonction de n.
c - En calculant cn+1+3n+1, déterminer l'expression de cn en fonction de n.
d - En déduire l'expression de Bn, puis celle de An en fonction de n.
5 - En déduire l'expression de l'état probabiliste En en fonction de n, quelle est sa limite ?
6 - A partir de combien de lancers la probabilité d'atteindre 4 dépasse 0,999 ?
PARTIE B Calcul du temps d'attente.
Soit T la variable aléatoire égale au temps d'attente pour gagner une partie.
1 - Calculer P(T=1) et P(T=2)
2 - Calculer P(T=k) pour k
1
3 - T prenant ses valeurs dans
*, son espérance mathématique est définie comme la limite lorsque n tend vers +
de :
nk=1 k*P(T=k)
On admet que la limite de
nk=1 k*(3/4)k-1 quand n tend vers + est égale à 16.
Déterminer E(T)
Cela est assez conséquent mais aidez-moi s'il vous plait. Je bloque donc à la question 3 de la partie A. Quelqu'un pourrait me donner une piste ?
Bonjour,
La récurrence est nécessaire. Commence pas calculer B, puis B², puis , et vois les relations de récurrence émergées.
Peux-tu nous donner ta matrice A ?
Compare B² et B, puis B3 et B², puis vois ce qu'il se passe pour tes coefficients. Je doute au passage que tu trouves sur ta diagonale.
Ce n'est tout simplement pas possible car sur la diagonale tu dois avoir 1/4,1/2,3/4,1.
Sinon Bn est faux.
En tenant compte qu'il faut garder le plus gros chiffre, j'ai fais comme ceci :
1 2 3 4
1
2
3
4
Mes probabilités sont en conséquence de ceci.. Je ne comprends pas.
Quelqu'un pourrait m'indiquer comment trouver la bonne matrice de transition ? Je stagne.. Merci d'avance
Je n'avance pas... Je ne peux pas réussir cette question (que je n'ai toujours pas compris) sans ma matrice de transition. Quelqu'un pourrait m'aider ?
salut
je ne comprend même pas ce qu'est ta matrice de transition ....
probabilité de gagner en .... coups ?
quand est-ce qu'on gagne ?
....
J'ai écris ce qu'il y avait sur mon livre.. Gagner nécessite d'arriver à 4
Les coups sont le nombre de fois où on lance le dé numéroté 1 à 4
On garde le chiffre le plus grand, si on tombe sur 2 puis 1, on garde 2 comme résultat par exemple
Quelqu'un pourrait m'expliquer ma faute pour la matrice de transition ? Je ne vois pas comment placer le 3/4 de Flewer
malheureusement je ne comprends pas ton énoncé ....
en particulier je ne comprends pas ton état initial ....
Excusez moi de ne vous répondre que maintenant, j'avais perdu espoir pour une éventuelle réponse.
On avait avant ça un travail sur le tableur à faire.. Cela peut peut-être vous aider à m'aider.. Sinon tout est détaillé plus haut, le 19 à 21h03.
Préalablement sur le tableur :
1- saisir la liste des entiers de 1 à 100 sur la première feuille de calcul à partir de B1
2 - On simule une première série de lancers sur la seconde ligne de la feuille de calcul.
a- Simuler B2 le premier lancer
b- Simuler en cellule C2 le second lancer, en tenant compte du fait que l'on ne garde que le résultat maximal obtenu
c- Recopier cette formule vers la droite afin de générer 100 lancer successifs de ce dé
3- Simuler à présent 500 séries de lancers
4- Pour chaque série de lancers, on va déterminer le numéro du premier lancer de la série qui atteint le 4
A- Avec la fonction ÉQUIV du tableur, saisir la formule voulue en cellule CY2 pour la première série de lancers
b- Opérer de même pour les 500 séries
5 - En déduire le nombre de moyen de lancers nécessaires pour atteindre 4 sur ces 500 séries de lancers
Désolé, je ne pensais pas que cela pouvait être important.
Merci d'avance de votre aide
Supposons que ma matrice de transition soit juste, comment procéder pour la question 3 ? Récurrence, d'accord. Mais je me retrouve avec une matrice monstrueuse. De l'aide ?
Si cela intéresse quelqu'un.. J'ai pris en compte les remarques de Flewer et je me suis rendu compte que la vrai matrice est :
A=
| 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 |
| 0 | 1/2 | 1/4 | 1/4 |
| 0 | 0 | 3/4 | 1/4 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
J'avais oublié de prendre en compte qu'on gardait le plus grand chiffre.
D'accord, j'ai la conjecture, mais comment répondre aux questions suivantes si j'ai déjà trouvé an par exemple ?
Tu as prouvé ta conjecture par récurrence ?
On te demande les relations de récurrence des suites, pas encore la nature des suites et leur expression en fonction de n. Cela vient après.
Non, pas encore car mon problème est qu'avec cette conjecture j'ai déjà Bn en fonction de n, mais c'est ce que l'on me demande de trouver à la question 4d
Je suis tout à fait d'accord avec vous !
Mais j'ai quand même une question:
Je cherche à montrer que Bn est égale à la matrice ci-dessus (énoncé).
Par récurrence je chercher à montrer qu'elle est égale à Bn+1, donc à la matrice Bn*B.
Mais je trouve quelque chose de totalement bizarre et ca ne prouve en rien ce que je voulais montrer.. Je suis un peu perdu pour cette question
Non ce n'est pas le principe de la question...
Le but est de trouver en donnant juste an, bn, cn, dn, etc... dans les cases et de donner les relations de récurrence que chacune de ses suites vérifient (en multpliant
par
en ne mettant que des an, bn, cn, etc... et des coefficients.)
Tu poses tes relations de récurrences pour les suites.
Tu fais ensuite une récurrence sur n..
B^0 pour initialiser.
B^(n+1) ensuite.
Recapitulons.
Je calcule Bn*B, je me retrouve avec une matrice horrible. Et ça prouve que Bn est égale à la matrice si dessus..?
Ca ne te sert pas de prouver que est la matrice au-dessus, calculer
te permet juste d'avoir les relations de récurrence !
Pour l'instant n'a pour expression que les coefficients diagonaux en fonction de n, et des suites dans les autres cases.
On te demande juste les relations de récurrence pour ces suites.
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