Bonjour,
Que signifie B inversible ?

Cela signifie qu'il existe une matrice A d'ordre n telle que BA = AB = I_n

Ou alors que le déterminant de B "det B" 0

Oui
La première ligne est la définition0
La seconde ligne est une propriété.

Il y a du I dans l'égalité a₀I + a₁B + a₂B² +...+ a_qB^q = 0.
C'est en fait I_n.
Essaye de l'isoler.

Donc :
a₀I + a₁B + a₂B² +...+ a_qB^q = 0

a₁B + a₂B² +...+ a_qB^q = - a₀I

I = ( a₁B + a₂B² +...+ a_qB^q ) / - a₀

Quand on multiplie une matrice par un réel, le réel s'écrit à gauche.
Et on ne fait pas de division.
Comme avec les vecteurs ( on n'écrit pas , mais ).

Écris -1/a₀ devant.

ah ok, donc I = -1/a0 * (a₁B + a₂B^² +...+ a_qB^q)

et j'imagine que  I = -1/a₀ * a_iBⁱ (pour i allant de 1 à q)

Oui, remplace les "" par des "donc" ou "d'où".
Maintenant il faut factoriser par B le second membre pour faire apparaître I = AB = BA.
a₁B = ... B
a₂B² = ....B

q * donc q-1 .
Tu peux écrire B^q = ... B.

D'accord avec le , mais ça n'aide pas vraiment.

a₁B = a₁B⁰ X B

a₂B² = a₂B X B

et donc a_qB^q = a_qB^q-1 X B

oui je laisse de côté

Donc a₁B + a₂B² +...+ a_qB^q = B (a₁ + a₂B +...+ a_qB^q-1

Donc I = B (-1/a₀ (a₁ + a₂B +...+ a_qB^q-1))

Et donc I = BA où A est la matrice "entre parenthèses" (pour pas tout réécrire  

Oui, vu comme je t'ai fait commencer, c'est plus logique de mettre B à droite :
I = (-1/a₀) (a₁ + a₂B +...+ a_qB^q-1))B

Ok, mais il faudra prouver que AB = BA aussi

Oui, deux manières :
Reprendre
a₁B = B.....
a₂B² = B.....
q * donc q-1 .
B^q = B....

ou

Utiliser la propriété avec le déterminant

O, merci beaucoup ! Oui forcément si je reprend a_qB^q = B X a_qB^q-1
puis que a_qB^q = a_qB^q-1 X B alors je prouverais que BA = AB