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Niveau Licence Maths 1e ann
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Matrice à diagonales dominantes

Posté par
Ennydra
03-01-18 à 14:01

Bonjour,

Soit A une matrice à diagonales strictement dominantes de la forme D-L-U=D-(L_1+L_2)-(U_1+U_2) où L1, L2, L=L1+L2 sont des matrices strictement triangulaires inférieures à coefficients positifs ou nuls, et U1, U2 et U=U1+U2 sont des matrices strictement triangulaires supérieures à coefficients positifs ou nuls, et D est une matrice diagonale.

On note l^1_{ij} les éléments de L1 et l^2_{ij} les éléments de L2. On en fait de même avec u^1_{ij} et u^2_{ij} pour les éléments de U1 et U2.

On veut montrer que ||(D-L1-U1)^{-1}(L2+U2)||_{\infty} <1.

Pour le faire, on cherche à montrer qu'il existe c \in ]0,1[ tel que pour tout x \in \R^n, ||y||_{\infty} \leq c||x||_{\infty} où y est défini par (D-L1-U1)y=(L2+U2)x.

---

Comme A est à diagonale dominante, ||(D-L)^{-1} U||_{\infty} < 1.
Mais comment prouver que ||(D-L1-U1)^{-1}(L2+U2)||_{\infty} <1 ? Merci d'avance...

Posté par
jb2017
re : Matrice à diagonales dominantes 03-01-18 à 17:25

Bonjour
ll me semble que la démonstration est très proche de celle où on démontre que
||(D-L)^(-1)U||<1. Si c'est bien le cas, il suffit donc de l'adapter

Posté par
Ennydra
re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 14:56

Pour un certain i, on note |y_i| = ||y||_{\infty} et |x_i| = ||x||_{\infty}.

Donc (D-L_1-U_1)y = (L_2+U_2)x devient :

d_{ii} y_i = \sum_{j > i} u_{1,ij} y_j + u_{2,ij} x_j + \sum_{i > j} l_{1,ij} y_j + l_{2,ij} x_j
 \\ \Leftrightarrow 
 \\ d_{ii} y_i - (\sum_{j>i} u_{1,ij} + \sum_{i>j} l_{1,ij}) y_j = (\sum_{j > i} u_{2,ij} + \sum_{i>j} l_{2,ij}) x_j

|d_{ii} y_i| = |\sum_{j > i} u_{1,ij} y_j + u_{2,ij} x_j + \sum_{i > j} l_{1,ij} y_j + l_{2,ij} x_j| \leq \sum_{j > i} |u_{1,ij} y_j + u_{2,ij} x_j| + \sum_{i > j} |l_{1,ij} y_j + l_{2,ij} x_j| par l'inégalité triangulaire donc on a :

(|d_{ii}| - \sum |u_{1,ij}| - \sum |l_{1,ij}|) ||y||_{\infty} \leq (\sum |u_{2,ij}| + \sum |l_{2,ij}|) ||x||_{\infty} (1)

Or par la stricte dominance diagonale de A, on a |d_{ii}| > \sum |u_{1,ij}| + \sum |u_{2,ij}| + \sum |l_{1,ij}| + \sum |l_{2,ij}| (les coefficients de L1, L2, U1 et U2 sont tous positifs ou nuls) donc :

|d_{ii}| - \sum |l_{1,ij}| - \sum |u_{1,ij}| > \sum |l_{2,ij}| + \sum |u_{2,ij}| > 0 et enfin par (1)

||y||_{\infty} < \dfrac{ \sum |l_{2,ij}| + \sum |u_{2,ij}| } {|d_{ii}| - \sum |l_{1,ij}| - \sum |u_{1,ij}| } ||x||_{\infty} et on a bien 0 < \dfrac{ \sum |l_{2,ij}| + \sum |u_{2,ij}| } {|d_{ii}| - \sum |l_{1,ij}| - \sum |u_{1,ij}| }< 1.

Pouvez-vous me confirmer ou non cette démonstration, ou je me suis plantée quelque part ?

Posté par
jb2017
re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 15:20

Bonjour
Oui cela me semble correct sauf le début.
En effet il existe au moins un i  tel que |y_i|=||y||  mais pour x ce n'est pas forcément le même. De tout façon il faut considérer la ligne i qui vérifie   |y_i|=||y||  pour les |x_i| on doit pouvoir les majorer simplement  par ||x||

Posté par
Ennydra
re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 15:24

Merci et oui tu as raison, je me suis un peu mélangée les pinceaux avec ||x||

Posté par
Ennydra
re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 16:04

Par contre la deuxième (et dernière) question :

2) En déduire que pour résoudre le système AX=F, la méthode itérative :
(D-L_1-U_1) X^{n+1/2} = F + (L_2+U_2)X^n
(D-L_2-U_2) X^{n+1} = F + (L_1+U_1) X^{n+1/2} converge.

On a montré que : ||(D-L_1-U_1)^{-1} (L_2+U_2)||_{\infty} < 1

En considérant la méthode : MX^{k+1} = NX^k + F avec M=D-L_1-U_1 et N=L_2+U_2, je n'arrive pas à bien comprendre le "+1/2". Je suppose que l'on divise par 2 car il y a deux lignes mais je ne comprends pas bien pourquoi...

Posté par
jb2017
re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 17:28

Rebonjour
Je n'ai jamais vu cela mais cela n'est pas un problème. En effet en général on prend une suite comme application définie sur N  mais on peut remplacer N  par un ensemble discret
ici 0,1/2,1,3/2.... Ce n'est qu'un problème de notation qui ici est inhabituel.

Posté par
Ennydra
re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 18:37

D'accord, merci beaucoup ^^

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