Niveau Licence Maths 1e ann

Matrice à diagonales dominantes

Posté par
Ennydra 03-01-18 à 14:01

Bonjour,

Soit A une matrice à diagonales strictement dominantes de la forme $D-L-U=D-(L_1+L_2)-(U_1+U_2)$ où L1, L2, L=L1+L2 sont des matrices strictement triangulaires inférieures à coefficients positifs ou nuls, et U1, U2 et U=U1+U2 sont des matrices strictement triangulaires supérieures à coefficients positifs ou nuls, et D est une matrice diagonale.

On note $l^1_{ij}$ les éléments de L1 et $l^2_{ij}$ les éléments de L2. On en fait de même avec $u^1_{ij}$ et $u^2_{ij}$ pour les éléments de U1 et U2.

On veut montrer que $||(D-L1-U1)^{-1}(L2+U2)||_{\infty} <1$ .

Pour le faire, on cherche à montrer qu'il existe $c \in ]0,1[$ tel que pour tout $x \in \R^n$ , $||y||_{\infty} \leq c||x||_{\infty}$ où y est défini par $(D-L1-U1)y=(L2+U2)x$ .

---

Comme A est à diagonale dominante, $||(D-L)^{-1} U||_{\infty} < 1$ .
Mais comment prouver que $||(D-L1-U1)^{-1}(L2+U2)||_{\infty} <1$ ? Merci d'avance...

Posté par re : Matrice à diagonales dominantes 03-01-18 à 17:25

Bonjour
ll me semble que la démonstration est très proche de celle où on démontre que
||(D-L)^(-1)U||<1. Si c'est bien le cas, il suffit donc de l'adapter

Posté par re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 14:56

Pour un certain i, on note $|y_i| = ||y||_{\infty}$ et $|x_i| = ||x||_{\infty}$ .

Donc $(D-L_1-U_1)y = (L_2+U_2)x$ devient :

$d_{ii} y_i = \sum_{j > i} u_{1,ij} y_j + u_{2,ij} x_j + \sum_{i > j} l_{1,ij} y_j + l_{2,ij} x_j \\ \Leftrightarrow \\ d_{ii} y_i - (\sum_{j>i} u_{1,ij} + \sum_{i>j} l_{1,ij}) y_j = (\sum_{j > i} u_{2,ij} + \sum_{i>j} l_{2,ij}) x_j$

$|d_{ii} y_i| = |\sum_{j > i} u_{1,ij} y_j + u_{2,ij} x_j + \sum_{i > j} l_{1,ij} y_j + l_{2,ij} x_j| \leq \sum_{j > i} |u_{1,ij} y_j + u_{2,ij} x_j| + \sum_{i > j} |l_{1,ij} y_j + l_{2,ij} x_j|$ par l'inégalité triangulaire donc on a :

$(|d_{ii}| - \sum |u_{1,ij}| - \sum |l_{1,ij}|) ||y||_{\infty} \leq (\sum |u_{2,ij}| + \sum |l_{2,ij}|) ||x||_{\infty}$ (1)

Or par la stricte dominance diagonale de A, on a $|d_{ii}| > \sum |u_{1,ij}| + \sum |u_{2,ij}| + \sum |l_{1,ij}| + \sum |l_{2,ij}|$ (les coefficients de L1, L2, U1 et U2 sont tous positifs ou nuls) donc :

$|d_{ii}| - \sum |l_{1,ij}| - \sum |u_{1,ij}| > \sum |l_{2,ij}| + \sum |u_{2,ij}| > 0$ et enfin par (1)

$||y||_{\infty} < \dfrac{ \sum |l_{2,ij}| + \sum |u_{2,ij}| } {|d_{ii}| - \sum |l_{1,ij}| - \sum |u_{1,ij}| } ||x||_{\infty}$ et on a bien $0 < \dfrac{ \sum |l_{2,ij}| + \sum |u_{2,ij}| } {|d_{ii}| - \sum |l_{1,ij}| - \sum |u_{1,ij}| }< 1$ .

Pouvez-vous me confirmer ou non cette démonstration, ou je me suis plantée quelque part ?

Posté par re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 15:20

Bonjour
Oui cela me semble correct sauf le début.
En effet il existe au moins un i tel que |y_i|=||y|| mais pour x ce n'est pas forcément le même. De tout façon il faut considérer la ligne i qui vérifie |y_i|=||y|| pour les |x_i| on doit pouvoir les majorer simplement par ||x||

Posté par re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 15:24

Merci et oui tu as raison, je me suis un peu mélangée les pinceaux avec ||x||

Posté par re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 16:04

Par contre la deuxième (et dernière) question :

2) En déduire que pour résoudre le système AX=F, la méthode itérative :
$(D-L_1-U_1) X^{n+1/2} = F + (L_2+U_2)X^n$
$(D-L_2-U_2) X^{n+1} = F + (L_1+U_1) X^{n+1/2}$ converge.

On a montré que : $||(D-L_1-U_1)^{-1} (L_2+U_2)||_{\infty} < 1$

En considérant la méthode : $MX^{k+1} = NX^k + F$ avec $M=D-L_1-U_1$ et $N=L_2+U_2$ , je n'arrive pas à bien comprendre le "+1/2". Je suppose que l'on divise par 2 car il y a deux lignes mais je ne comprends pas bien pourquoi...

Posté par re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 17:28

Rebonjour
Je n'ai jamais vu cela mais cela n'est pas un problème. En effet en général on prend une suite comme application définie sur N mais on peut remplacer N par un ensemble discret
ici 0,1/2,1,3/2.... Ce n'est qu'un problème de notation qui ici est inhabituel.

Posté par re : Matrice à diagonales dominantes 04-01-18 à 18:37

D'accord, merci beaucoup ^^

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