Bonjour ou bonsoir,
Voici mon exo :
Soit A Mat(n,IR) une matrice antisymétrique (At=-A)
Je dois prouver :
a) Si n est impair, alors det(A) = 0.
b) Si 0 IR est un zéro de PA(), alors 0 = 0. En déduire que det(A + E) (Nous écrivons E pour Einheit, la matrice unité)>0.
c) Vérifier que M:= (E-A)(E+A)-1 SO(n), où SO(n) = l'ensemble des matrice n, IR appartenant au groupe orthogonal, et de déterminant =+1.
J'ai réussi le a).
Le b) la première partie je crois que j'ai également réussi, en utilisant la propriété AX = 0X (pour X un vecteur colonne non nul) et XtAX = 0XtX (en développant le calcul). Pour la suite je ne vois pas comment déduire det(A+E) > 0
Pour le c), c'est la cata... je ne vois pas trop comment je peux m'attaquer au problème...
Merci d'avance pour votre aide et votre temps !
p.s. je n'étudie pas en France donc je ne sais jamais quel est mon niveau d'étude (supérieur? bts ? c'est quoi ? je suis à l'université en première année..)
(pour le c) j'ai essayé de montrer que M . Mt = E, mais déjà là ça bloque vu que je ne sais pas si A est régulière, donc je devrais commencer par calculer son déterminant, mais la aussi ca coince..
Bonjour !
Pour le déterminant de tu utilises que est un réel non nul donc n'est pas valeur propre de .
et en utilisant tu obtiens facilement que
Merci beaucoup Luzak !
-1 ne peut pas être valeur propre, mais 0 l'est. Cela suffit pour dire que det(A+E) > 0 ? Si oui je ne comprends pas vraiment pourquoi...
Pour le c) j'ai compris ton résonnement merci !
jandri Plus facile à dire qu'à faire ahah ! J'ai essayé de faire un graphique et comme je sais que la seule valeur propre réelle est 0, le signe est soit toujours positif, ou toujours negatif... comment montrer que cest > 0 ...? Merci d'avance pour ton aide.
Je n'avais pas vu ton et me suis intéressé uniquement à "non nul".
Tu aurais dû aller un peu plus loin dans le b) et montrer que les valeurs propres non réelles sont des imaginaires purs (il suffit d'utiliser la matrice adjointe et calculer pour vecteur propre associé à un complexe).
Par conséquent les valeurs propres de sont (éventuellement) ou un nombre complexe . Le déterminant est le produit des valeurs propres donc le produit par 1 (si ça se trouve) et par des (ne pas oublier que étant réelle, si est valeur propre, il en est de même de avec le même ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique.
luzak Mmh... merci pour ta réponse..
On n'a pas vu la matrice adjointe en cours, neanmoins ton resultat reste tres interessant, comment as-tu trouver que une des valeurs propres possibles de E+A est 1 ? Est-ce que je peux le montrer sans utiliser la matrice adjointe ?
Merci d'avance
Le signe du polynôme est très facile à obtenir sachant qu'il ne s'annule pas en dehors de et que son terme dominant est .
Bonjour luzak,
tu as raison, considérer le polynôme est encore plus rapide.
J'ai proposé car c'est le polynôme caractéristique de .
Ah et aussi : Si le terme est xn, quand x -, det(A+xE) tend aussi vers l'infini non ? Donc le signe n'est pas toujours positif ...?
Le terme est le terme de plus haut degré : il suffit de regarder le déterminant, le terme de plus haut degré s'obtient en prenant les éléments diagonaux.
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Tu as raison pour impair, la limite est .
On peut s'en sortir en mettant le plus grand possible en facteur, le quotient est forcément de degré pair (c'est une propriété des endomorphismes antisymétriques : le rang est nécessairement pair) et puisque tu veux le signe au point 1, plus de problème.
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En revenant à mon idée : considérer qui vaut 1 si .
Si cette fonction polynôme s'annule en le réel non nul est valeur propre de ce qui est exclu.
Attention, ici le terme de plus haut degré n'est pas nécessairement . Le coefficient de serait plutôt qui peut s'annuler...
@ insecte
J'ai proposé d'utiliser le polynôme car dans l'énoncé de l'exercice on parle d'un zéro de .
Donc je pense que tu dois savoir que le polynôme caractéristique est de degré avec le coefficient de égal à 1.
Il en résulte que ce polynôme tend vers quand tend vers
Oui mais insecte a raison lorsque est impair.
Le polynôme ne s'annule que pour et le coefficient de est 1 mais il y a changement de signe.
Okay, merci beaucoup pour ces compléments. Pour le b) c'est clair maintenant.
Pour le c) on sait que (A+E) est inversible mais est-ce que je dois vraiment essayer de l'inverser ? Ou je dois plutôt essayer de trouver un lien entre le det(A-E) et det(A+E)-1? (Par exemple montrer qu'ils sont égaux..? ce qui faciliterait assez bien le calcul
J'ai essaye avec xdet(xA-E), x=0 donne (-1)n et je suis bloqué car j'aimerais que ce det soit =+1... j'ai essayé d'utiliser la propriété que j'ai montrée en a) : si n est impaire alors det(A)=0 mais mon x ne depend pas de E... alors j'écris det(A-xE), pour x = 0, si n est impair, on a 0. En +, on a - infini car -(x)n, donc det(A-E) est négatif et ne vaut pas 1 si n impair. Ce qui ne va pas... Où est-ce que je fais faux.. help svp
Bonjour,
Une matrice et sa transposée ont même déterminant, quant au déterminant de l'inverse d'une matrice...
Bonjour insecte
C'est ce que je me dis tous les matins en me rasant. On a les ambitions qu'on peut...
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