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Niveau Licence Maths 1e ann
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Matrice Antisymétrique

Posté par
insecte
08-03-18 à 00:15

Bonjour ou bonsoir,

Voici mon exo :
Soit A Mat(n,IR) une matrice antisymétrique (At=-A)
Je dois prouver :

a) Si n est impair, alors det(A) = 0.

b) Si 0 IR est un zéro de PA(), alors 0 = 0. En déduire que det(A + E) (Nous écrivons E pour Einheit, la matrice unité)>0.

c) Vérifier que M:= (E-A)(E+A)-1 SO(n), où SO(n) = l'ensemble des matrice n, IR appartenant au groupe orthogonal, et de déterminant =+1.

J'ai réussi le a).
Le b) la première partie je crois que j'ai également réussi, en utilisant la propriété AX = 0X (pour X un vecteur colonne non nul) et XtAX = 0XtX (en développant le calcul). Pour la suite je ne vois pas comment déduire det(A+E) > 0

Pour le c), c'est la cata... je ne vois pas trop  comment je peux m'attaquer au problème...

Merci d'avance pour votre aide et votre temps !

p.s. je n'étudie pas en France donc je ne sais jamais quel est mon niveau d'étude (supérieur? bts ? c'est quoi ? je suis à l'université en première année..)

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 01:03

(pour le c) j'ai essayé de montrer que M . Mt = E, mais déjà là ça bloque vu que je ne sais pas si A est régulière, donc je devrais commencer par calculer son déterminant, mais la aussi ca coince..

Posté par
luzak
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 08:41

Bonjour !
Pour le déterminant de A+E tu utilises que -1 est un réel non nul donc n'est pas valeur propre de A.

M^T=(E+A)^{(-1)T}(E-A)^T=(E-A)^{-1}(E+A) et en utilisant (E+A)(E-A)=E-A^2=(E-A)(E+A) tu obtiens facilement que M^TM=E

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 09:25

Merci beaucoup Luzak !

-1 ne peut pas être valeur propre, mais 0 l'est. Cela suffit pour dire que det(A+E) > 0 ? Si oui je ne comprends pas vraiment pourquoi...

Pour le c) j'ai compris ton résonnement merci !

Posté par
jandri Correcteur
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 09:39

Bonjour,

pour le b) il faut considérer le signe du polynôme \det(xE+A).

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 12:01

jandri Plus facile à dire qu'à faire ahah ! J'ai essayé de faire un graphique et comme je sais que la seule valeur propre réelle est 0, le signe est soit toujours positif, ou toujours negatif... comment montrer que cest > 0 ...? Merci d'avance pour ton aide.

Posté par
luzak
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 12:32

Je n'avais pas vu ton >0 et me suis intéressé uniquement à "non nul".
Tu aurais dû aller un peu plus loin dans le b) et montrer que les valeurs propres non réelles sont des imaginaires purs (il suffit d'utiliser la matrice adjointe A^*=(\bar A)^T=-A et calculer X^*AX pour X vecteur propre associé à un complexe).
Par conséquent les valeurs propres de E+A sont 1 (éventuellement) ou un nombre complexe  1+ia,\;a\in\R. Le déterminant est le produit des valeurs propres donc le produit par 1 (si ça se trouve) et par des (1+ia)(1-ia)=1+a^2 (ne pas oublier que A étant réelle, si ia est valeur propre, il en est de même de -ia avec le même ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique.

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 13:43

luzak Mmh... merci pour ta réponse..
On n'a pas vu la matrice adjointe en cours, neanmoins ton resultat reste tres interessant, comment as-tu trouver que une des valeurs propres possibles de E+A est 1 ? Est-ce que je peux le montrer sans utiliser la matrice adjointe ?
Merci d'avance

Posté par
jandri Correcteur
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 15:35

Le signe du polynôme \det(xE+A) est très facile à obtenir sachant qu'il ne s'annule pas en dehors de x=0 et que son terme dominant est x^n.

Posté par
luzak
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 17:56

Citation :
Est-ce que je peux le montrer sans utiliser la matrice adjointe ?

Si 0 est valeur propre de A, 1+0 est valeur propre de E+A !

Pour l'idée de jandri (que je salue) l'utilisation de x\mapsto\det(E+xA) est encore plus expéditive : signe constant et valeur en 0 du polynôme. Mais c'est en fait la même chose puisqu'il utilise la valeur en +\infty...

Posté par
jandri Correcteur
re : Matrice Antisymétrique 08-03-18 à 22:08

Bonjour luzak,

tu as raison, considérer le polynôme x\mapsto\det(E+xA) est encore plus rapide.
J'ai proposé x\mapsto\det(xE+A) car c'est le polynôme caractéristique de -A.

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 01:08

jandri @ 08-03-2018 à 15:35

et que son terme dominant est x^n.

Tout d'abord merci, c'est très clair. Ensuite:
Je dois montrer ce resultat ? Ou c'est une définition du det(A+xE) ? (On ne l'a pas vraiment vu de cette manière en cours)

Merci encore pour votre aide, j'ai vraiment envie de comprendre la résolution de l'exo donc désolé si je pose des questions basiques...

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 01:10

Ah et aussi : Si le terme est xn, quand x -, det(A+xE) tend aussi vers l'infini non ? Donc le signe n'est pas toujours positif ...?

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 01:11

det(A+xE) tend aussi vers -* pardon

Posté par
luzak
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 08:19

Le terme x^n est le terme de plus haut degré : il suffit de regarder le déterminant, le terme de plus haut degré s'obtient en prenant les éléments diagonaux.
....................................
Tu as raison pour n impair, la limite est -\infty.

On peut s'en sortir en mettant x^k,\;k le plus grand possible en facteur, le quotient est forcément de degré pair (c'est une propriété des endomorphismes antisymétriques : le rang est nécessairement pair) et puisque tu veux le signe au point 1, plus de problème.
...........................
En revenant à mon idée :  considérer \det(E+xA) qui vaut 1 si x=0.
Si cette fonction polynôme s'annule en x\neq0 le réel non nul \dfrac{-1}x est valeur propre de A ce qui est exclu.

Attention, ici le terme de plus haut degré n'est pas nécessairement x^n. Le coefficient de x^n serait plutôt \det(A) qui peut s'annuler...

Posté par
jandri Correcteur
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 08:41

@ insecte
J'ai proposé d'utiliser le polynôme  \det(xE+A) car dans l'énoncé de l'exercice on parle d'un zéro de P_A(\lambda).
Donc je pense que tu dois savoir que le polynôme caractéristique P_{-A}(x)= \det(xE+A) est de degré n avec le coefficient de x^n égal à 1.
Il en résulte que ce polynôme tend vers +\infty quand x tend vers +\infty

Posté par
luzak
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 08:54

Oui mais insecte a raison lorsque n est impair.
Le polynôme x(x^2+1) ne s'annule que pour x=0 et le coefficient de x^3 est 1 mais il y a changement de signe.

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 09:55

Okay, merci beaucoup pour ces compléments. Pour le b) c'est clair maintenant.
Pour le c) on sait que (A+E) est inversible mais est-ce que je dois vraiment essayer de l'inverser ? Ou je dois plutôt essayer de trouver un lien entre le det(A-E) et det(A+E)-1? (Par exemple montrer qu'ils sont égaux..? ce qui faciliterait assez bien le calcul

J'ai essaye avec xdet(xA-E), x=0 donne (-1)n et je suis bloqué car j'aimerais que ce det soit =+1... j'ai essayé d'utiliser la propriété que j'ai montrée en a) : si n est impaire alors det(A)=0 mais mon x ne depend pas de E... alors j'écris det(A-xE), pour x = 0, si n est impair, on a 0. En +, on a - infini car -(x)n, donc det(A-E) est négatif et ne vaut pas 1 si n impair. Ce qui ne va pas... Où est-ce que je fais faux.. help svp

Posté par
larrech
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 10:04

Bonjour,
Une matrice et sa transposée ont même déterminant, quant au déterminant de l'inverse d'une matrice...

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 10:40

Bonjour larrech!
Heureusement que t'es là... merci !

Posté par
larrech
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 11:50

Bonjour insecte
C'est ce que je me dis tous les matins en me rasant. On a les ambitions qu'on peut...

Posté par
insecte
re : Matrice Antisymétrique 09-03-18 à 13:45

Ahaha je crois que je vais commencer à me raser tous les matins...

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