Bon il semble que personne ne puisse m'aider pas grave!

bein c'est pas tellement ca, c'est surtout que n ne semble jamais apparaitre, donc c'est bizarre...

Bon de toute façon là il est trop tard, mais là on prend n=3 donc P est ds C_3[X]

Et fn ne dépend pas de n? juste de l'espace?
Pas très intéressant comme sujet.
Et p c'est quoi?

Si j'ai bien compris fn est l'application définie comme suit:
fn:n[X]n[X]
P((x²-1)/2)*P"-X*P'+P
comme ça fn arrive bien dans n[X] et elle est bien linéaire ça va on peut y aller
pour n=3 désignons par B=(1,X,X²,X^3)la base canonique de 3[X]on a:
f3(1)=1
f3(X)=-X+X=0
f3(X²)=((X²-1)/2)*2-X*2*X+X²=-1
f3(X^3)=((X²-1)/2)*6*X-X*3*X²+X^3=X^3-3*X
la matrice de f3 dans B est donc:
1 0 -1 0
0 0 0 -3
M = 0 0 0 0
0 0 0 1

comme tu vois cette matrice est clairement de rang 2
on a donc dim(Imf3)=2 et Imf3 est engendré par (f3(1),f3(X^3)) c'est à dire que:
(1,X^3-3*X) est une base de Imf3.
le théorème du rang assure que dim(Kerf3)=2
et il est clair d'aprés la matrice M que X et 1+X² sont dans Kerf3
et comme ils sont linéairement indépendants on a que:
(X,1+X²) est une base de Kerf3.
Enfin espérons que c'est bien ça