Bonjour,
Une méthode :
Les vecteurs images vérifient z = x+y.
Ça donne déjà la forme des quatre colonnes de la matrice.
Choisir des lettres pour les coefficients des deux premieres lignes de la matrice.
La troisième ligne peut alors s'écrire en fonction de ces lettres.
Puis traduire les données sur le noyau.

salut

commence par travailler dans une base dont les deux premiers vecteurs sont v1 et v2

les deux premières colonnes de la matrice M sont donc formées de 0 :image de v1 et v2 car Mv1 = Mv2 = 0

il te faut maintenant trouver deux autres vecteurs v3 et v4 tels que Mv3 et Mv4 appartiennent au plan d'équation x + y - z = 0

et(v1, v2, v3, v4) est une base de R⁴

Il y a plus simple.
En notant e1, e2, e3, e4 les vecteurs de la base canonique de ⁴, traduire f(v₁) = 0 donne une relation entre f(e4) et les autres images.
Idem avec f(e3) et f(v2).

Bonjour carpediem
J'ai écrit "il y a plus simple" par rapport à mon 1er message.
Je n'avais pas vu le tien.
Cependant, chercher directement des relations entre les f(e_i) me semble plus ... direct

oui nous avons posté notre premier msg quasiment simultanément

oui le pb ensuite avec ma méthode est d'exprimer les vecteurs de la base canonique dans la base (v1, ...., v4)

mais la matrice dans la base canonique sera immédiate en calculant alors leur image par M

mais tu as raison il faut cependant tenir compte des contraintes imposées par f(v1) = f(v2) = 0 sur les vecteurs de la base canonique

Attendons les réactions de temp0133.
Avec nos réponses, il a du grain à moudre

Bonjour,  en tenant compte des indications de Sylvieg, je trouve cette matrice.
A=

Voulant vérifier j'ai pris un element de imf et essayer de retrouver l'équation du plan donné dans l'énoncé, j'ai bien retrouvé mais j'ai trouvé aussi que a1b2 -b1a2 doit être non nul sinon imf n'est plus un plan mais une droite, jme demandais si il y avait pas des moyens plus simples de trouver les restrictions que doivent avoir les element de la matrice de l'application linéaire?

Bonsoir,
Il y a des soucis avec le site de l'île, d'où une réponse tardive.
J'ai trouvé la 3ème colonne identique à la 2ème.
Sinon, c'est bon.
Je poste déjà ça et je vais regarder ce que tu as écrit en dessous.

Tu as complétement raison pour la condition a1b2 -b1a2 non nul.
Je n'y avais pas pensé !

Je m'étais trompé pendant la recopie en Latex mais j'ai bien aussi trouvé la 3ème colonne identique à la 2ème

Bonjour

temp0133, peux-tu renseigner ton profil s'il te plaît

extrait de la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Oui, indiquer son niveau (dans son profil) et celui du problème est obligatoire lorsqu'on pose une question.

Un correcteur pourra ainsi facilement juger s'il est en mesure de vous aider ou non. En l'absence de cette précision, aussi bien sur votre profil que sur le forum dans lequel le sujet est publié, il risque moins de vous indiquer une méthode que vous n'avez pas encore vue en classe, etc.

De même, si vous êtes élèves dans un pays francophone, vous pouvez consulter les équivalences des systèmes de niveaux scolaires afin de choisir le niveau de la classe française correspondant à votre classe. Cela permet au correcteur d'intégrer le fait que votre niveau scolaire ne correspond pas forcément à celui stipulé dans les programmes français en vigueur.

Il est de même demandé aux aidants de renseigner leur profil, ce qui en général donne une bonne indication du niveau de l'aide apportée.