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matrice de Dirac

Posté par neo (invité) 10-12-05 à 16:11

bonjour à tous,
comment montrer que si une matrice A de Mn() vérifie la proprité de Dirac avec A² non nulle, alors A est inversible.
J'ai essayé de montrer que A.B=I mais je ne trouve pas B.
PS : une matirce A a la propriété de Dirac si A² est une matrice scalaire c'est-à-dire qu'il existe k dans tel que A=kI où I est la matrice de l'identité.
merci d'avance à tous pour votre aide.
neo

Posté par
franzre : matrice de Dirac 10-12-05 à 16:19

Que fait A.\(\frac 1 k A\) ?

Posté par neo (invité)re : matrice de Dirac 10-12-05 à 16:40

oui d'accord,
mais on ne sait pas si k différent de 0 !

Posté par neo (invité)re : matrice de Dirac 10-12-05 à 16:41

désolé, c'est A²=kI

Posté par neo (invité)re : matrice de Dirac 10-12-05 à 20:04

salut,
j'ai donc réussi à montrer grâce à votre aide que :
              A est inversible
              A^(-1) vérifie la propriété de Dirac
mais comment montrer que A n'admet au plus que 2 valeurs propres ?
merci  

Posté par neo (invité)re : matrice de Dirac 10-12-05 à 21:19

personne ?

Posté par
franzre : matrice de Dirac 10-12-05 à 22:29

Si \lambda est valeur propre de A et X est un vecteur propre associé à \lambda
A.X=\lambda\,X, A^2.X=A.(A.X)=A.(\lambda\,X)=\lambda^2\,X

Or A^2.X=k\,X

La conclusion n'est pas difficile.


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