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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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matrice de passage, base orthonormee

Posté par Profil coopers 10-05-23 à 17:11

Bonjour,

je voudrais résoudre cet exercice :

Soit E un plan euclidien
a) montrer qu'une matrice de passage d'une base orthonormée directe à une autre base orthonormée directe est du type
\begin{pmatrix}
 \\ cos(a)       &     -sin(a)& \\ 
 \\ sin(a) & cos(a)
 \\ 
 \\  & 
 \\ \end{pmatrix}
b)montrer qu'une matrice de passage d'une base orthonormée directe à une autre base orthonormée indirecte est du type
\begin{pmatrix}
 \\ cos(a)       &     sin(a)& \\ 
 \\ sin(a) & - cos(a)
 \\ 
 \\  & 
 \\ \end{pmatrix}

Je ne comprends pas comment faire pour resoudre cet exercice
Merci pour votre aide.

Posté par
phyelec78
re : matrice de passage, base orthonormee 10-05-23 à 17:27

double poste.

Posté par Profil coopersre : matrice de passage, base orthonormee 10-05-23 à 18:42

desolé il y a eu un probleme de connexion, les serveurs était indisponibles et je pensais que le premier n'était pas publié... ma box est instable
c'est une erreur, ce n'était pas volontaire, c'est la première fois que cela m'arrive...

Posté par
verdurin
re : matrice de passage, base orthonormee 10-05-23 à 19:09

Bonsoir,
pour la première question, les seules isométries directes du plan sont  les rotations.

Il faut donc montrer que la matrice d'une rotation d'angle a est \begin{pmatrix}\cos(a) & -\sin(a)& \\ \sin(a) & \cos(a)\end{pmatrix}

Pour la seconde question on compose une rotation et une symétrie par rapport au premier axe.

Dans les deux cas faire un dessin peut aider.

Posté par
GBZM
re : matrice de passage, base orthonormee 10-05-23 à 19:09

Bonjour.
Le premier vecteur de ta nouvelle base orthonormé peut toujours s'écrire sous la forme \begin{pmatrix}\cos(a)\\\sin(a)\end{pmatrix}. Après, tu vois pour le deuxième ...

Posté par
lafol Moderateur
re : matrice de passage, base orthonormee 11-05-23 à 17:07

Bonjour
tu peux aussi partir de tes nouveaux vecteurs de coordonnées (x,y) et (x',y') dans l'ancienne BON qui doivent former une nouvelle BON :
ils doivent être orthogonaux, ce qui se traduit par ? et normés ce qui se traduit par ?
tu regardes ce que tu peux tirer des trois égalités ainsi écrites (une des trois va te donner ce que te dit GBZM )



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