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matrice de projecteur

Posté par
Mariondumont
14-05-22 à 09:06

bonjour,
j'ai un exercice que je n'arrive pas a faire. le voici :

soit E un espace vectoriel de dimension finie n
1) soit f un projecteur de E, peut on trouver une base dans laquelle la matrice de f est particulièrement simple ?

2) même question pour un symétrie

pour la question je sais que si I est la base cherchée, on a (matI(f))2=matI(f)

j'imagine aussi que la base doit donner une matrice diagonale ou identité.
mon problème est que je n'arrive pas a traduire un projecteur en matrice.

merci d'avance pour votre temps.

Posté par
toureissa
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 09:16

Bonjour,
Toute projecteur ou symétrie est diagonalisable.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 09:20

Bonjour,
Qu'est-ce qu'un projecteur ?

Posté par
Mariondumont
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 10:04

si F et G sont supplémentaires dans E
un projecteur est un endomorphisme tel que pour tout yF et pour tout zG fF||G(y+z)=y

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 11:28

Je ne connais pas la notation fF||G, mais je crois l'avoir comprise.
Utilise des bases de F et G.

Posté par
Mariondumont
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 11:46

c'est "projection de F parallèlement a G"

comment trouver une base si je ne connais rien sur les ensembles ?

Posté par
Razes
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 12:06

Bonjour,

Il suffit de prendre la base de F et la compléter avec la base de G.

La restriction de faire à F est l'application  identité et celle de f à G est l'application nulle. Donc tu obtiendra une matrice avec des 0 et des 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 12:12

Il ne s'agit pas de "trouver une base", mais d'affirmer qu'il y en a.
On est en dimension finie.
Soir p = dim F et q = dim G.
p+q = n car les espaces sont supplémentaires.
De plus, on peut travailler dans une base de E formée des p vecteurs d'une base de F et des q vecteurs d'une base de G.
Je ne vais plus être disponible.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 12:13

Bonjour Razes,
Dommage d'avoir donné toutes les réponses.
Mais c'est bien que tu puisses prendre la suite si Mariondumont a encore des interrogations.

Posté par
Razes
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 12:22

Bonjour Sylvieg,
Sincèrement désolé, je pensais donner juste qlq élément de reflexion puis j'ai envoyer sans relire.

Posté par
Mariondumont
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 14:09

ok du coup
soit F,G supplémentaires dans E, f une projection sur E

dim E = dimF+dim G

soit xE, (y,z)FxG tel que x=y+z
on a f(x)= f(y+z)=y
donc f|F=ID et f|G=0

donc la réponse a la question serait une base de F ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 14-05-22 à 21:29

La réponse à la question n'est pas une base de F, mais de construire une base de E dans laquelle "la matrice de f est particulièrement simple".

Il suffit de prendre une base quelconque de F et une base quelconque de G.
Soir p = dim F et q = dim G.
Une base de F est constituée de p vecteurs, et une base de G est composée de q vecteurs.
Avec ces p+q vecteurs, on a une base de E.
Comment sera la matrice de f dans cette base ?

PS à Razes :
A mon tour d'être désolée, car visiblement tu n'avais pas "donné toutes les réponses".

Posté par
Mariondumont
re : matrice de projecteur 15-05-22 à 09:21

j'imagine du coup que c'est la matrice identité mais je ne comprend pas comment on trouve cette matrice.

Posté par
Mariondumont
re : matrice de projecteur 15-05-22 à 09:50

si (l1,...lp) est une base de F
(g1,...,gq) une base de G
une base de E est B= (l1,...lp,g1,....gq)

soit xE,
la première colonne de la matrice de f relativement a B  est donc f(l1)=l1 +0xf2+...+0xgq
donc ma première colonne serait (1,0,0,0,0,...,0)avec p+q-1 zéro
est ce bien ça ?
et si je continue le raisonnement alors les colonne avec les g seront égale a 0 non ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 15-05-22 à 11:04

Ça y est, tu as compris

Je rectifie un peu car il est inutile de parler de x.
Par contre très bonne idée de donner des noms aux vecteurs des bases.

Citation :
f(l1)=l1 +0xf2+...+0xgq
donc ma première colonne est (1,0,0,0,0,...,0)avec p+q-1 zéros

et si je continue le raisonnement alors les colonnes avec les g ne contiendront que des 0

Posté par
Mariondumont
re : matrice de projecteur 15-05-22 à 11:34

ok merci beaucoup !

et du coup pour une symétrie (∀y ∈ F, ∀z ∈ G sF||G(y + z) = y − z. )

on fait le même raisonnement pour les bases et on obtient l'identité sur les p premières colonnes et moins l'identité sur les q suivantes.

c'est bien ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 15-05-22 à 11:37

Des 1 et des -1.
Précise que tous les 1 et -1 sont sur la 1ère diagonale.
Idem pour les 1 à la question 1).

Posté par
Mariondumont
re : matrice de projecteur 15-05-22 à 11:55

d'accord merci beaucoup pour le temps accordé !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de projecteur 15-05-22 à 13:58

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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