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matrice de projecteur
bonjour,
j'ai un exercice que je n'arrive pas a faire. le voici :
soit E un espace vectoriel de dimension finie n
1) soit f un projecteur de E, peut on trouver une base dans laquelle la matrice de f est particulièrement simple ?
2) même question pour un symétrie
pour la question je sais que si I est la base cherchée, on a (matI(f))2=matI(f)
j'imagine aussi que la base doit donner une matrice diagonale ou identité.
mon problème est que je n'arrive pas a traduire un projecteur en matrice.
merci d'avance pour votre temps.
si F et G sont supplémentaires dans E
un projecteur est un endomorphisme tel que pour tout y
F et pour tout zG fF||G(y+z)=y
c'est "projection de F parallèlement a G"
comment trouver une base si je ne connais rien sur les ensembles ?
Bonjour,
Il suffit de prendre la base de F et la compléter avec la base de G.
La restriction de faire à F est l'application identité et celle de f à G est l'application nulle. Donc tu obtiendra une matrice avec des 0 et des 1.
Il ne s'agit pas de "trouver une base", mais d'affirmer qu'il y en a.
On est en dimension finie.
Soir p = dim F et q = dim G.
p+q = n car les espaces sont supplémentaires.
De plus, on peut travailler dans une base de E formée des p vecteurs d'une base de F et des q vecteurs d'une base de G.
Je ne vais plus être disponible.
Bonjour Razes,
Dommage d'avoir donné toutes les réponses.
Mais c'est bien que tu puisses prendre la suite si Mariondumont a encore des interrogations.
Bonjour Sylvieg,
Sincèrement désolé, je pensais donner juste qlq élément de reflexion puis j'ai envoyer sans relire.
ok du coup
soit F,G supplémentaires dans E, f une projection sur E
dim E = dimF+dim G
soit xE, (y,z)FxG tel que x=y+z
on a f(x)= f(y+z)=y
donc f|F=ID et f|G=0
donc la réponse a la question serait une base de F ?
La réponse à la question n'est pas une base de F, mais de construire une base de E dans laquelle "la matrice de f est particulièrement simple".
Il suffit de prendre une base quelconque de F et une base quelconque de G.
Soir p = dim F et q = dim G.
Une base de F est constituée de p vecteurs, et une base de G est composée de q vecteurs.
Avec ces p+q vecteurs, on a une base de E.
Comment sera la matrice de f dans cette base ?
PS à Razes :
A mon tour d'être désolée, car visiblement tu n'avais pas "donné toutes les réponses".
j'imagine du coup que c'est la matrice identité mais je ne comprend pas comment on trouve cette matrice.
si (l1,...lp) est une base de F
(g1,...,gq) une base de G
une base de E est B= (l1,...lp,g1,....gq)
soit xE,
la première colonne de la matrice de f relativement a B est donc f(l1)=l1 +0xf2+...+0xgq
donc ma première colonne serait (1,0,0,0,0,...,0)avec p+q-1 zéro
est ce bien ça ?
et si je continue le raisonnement alors les colonne avec les g seront égale a 0 non ?
Ça y est, tu as compris 
Je rectifie un peu car il est inutile de parler de x.
Par contre très bonne idée de donner des noms aux vecteurs des bases.
f(l1)=l1 +0xf2+...+0xgq
donc ma première colonne est (1,0,0,0,0,...,0)avec p+q-1 zéros
et si je continue le raisonnement alors les colonnes avec les g ne contiendront que des 0
ok merci beaucoup !
et du coup pour une symétrie (∀y ∈ F, ∀z ∈ G sF||G(y + z) = y − z. )
on fait le même raisonnement pour les bases et on obtient l'identité sur les p premières colonnes et moins l'identité sur les q suivantes.
c'est bien ça ?
Des 1 et des -1.
Précise que tous les 1 et -1 sont sur la 1ère diagonale.
Idem pour les 1 à la question 1).
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